Решение уравнения x² - (3 - 2i)x + 5 - i = 0

Задание 3. Решить уравнение \(x^2 - (3 - 2i)x + 5 - i = 0\). Решение: Данное уравнение является квадратным уравнением вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где коэффициенты: \[a = 1, \quad b = -(3 - 2i), \quad c = 5 - i\] 1. Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \[D = (-(3 - 2i))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5 - i)\] \[D = (3 - 2i)^2 - 4(5 - i)\] Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) и учитывая, что \(i^2 = -1\): \[D = 9 - 12i + 4i^2 - 20 + 4i\] \[D = 9 - 12i - 4 - 20 + 4i\] \[D = -15 - 8i\] 2. Найдем корень из дискриминанта \(\sqrt{D} = \sqrt{-15 - 8i}\). Пусть \(\sqrt{-15 - 8i} = x + iy\). Тогда: \[(x + iy)^2 = -15 - 8i\] \[x^2 - y^2 + 2xyi = -15 - 8i\] Составим систему уравнений: \[\begin{cases} x^2 - y^2 = -15 \\ 2xy = -8 \end{cases}\] Из второго уравнения \(y = -4/x\). Подставим в первое: \[x^2 - \frac{16}{x^2} = -15\] \[x^4 + 15x^2 - 16 = 0\] Пусть \(t = x^2\) (\(t > 0\)): \[t^2 + 15t - 16 = 0\] По теореме Виета корни: \(t_1 = 1\), \(t_2 = -16\) (не подходит). Значит, \(x^2 = 1\), откуда \(x = 1\) или \(x = -1\). Если \(x = 1\), то \(y = -4\). Если \(x = -1\), то \(y = 4\). Таким образом, \(\sqrt{D} = \pm(1 - 4i)\). 3. Находим корни уравнения по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \[x_1 = \frac{(3 - 2i) + (1 - 4i)}{2} = \frac{4 - 6i}{2} = 2 - 3i\] \[x_2 = \frac{(3 - 2i) - (1 - 4i)}{2} = \frac{2 + 2i}{2} = 1 + i\] Ответ: \(x_1 = 2 - 3i\), \(x_2 = 1 + i\).