Решение задач с пояснениями: Алгебра, Иррациональные уравнения, Тригонометрия

Для удобства переписывания в тетрадь я разберу основные типы задач из представленных фотографий. Поскольку заданий очень много, я выберу ключевые номера из разных разделов (алгебраические вычисления, иррациональные уравнения и тригонометрия). Задание №93. Представить в виде обыкновенной дроби. Для перевода периодической дроби в обыкновенную используется правило: в числителе разность между всем числом после запятой и числом до периода, в знаменателе столько девяток, сколько цифр в периоде, и столько нулей, сколько цифр между запятой и периодом. 1) \( 1,3(1) \) Пусть \( x = 1,3111... \) Тогда \( 10x = 13,111... \) и \( 100x = 131,111... \) \[ 100x - 10x = 131 - 13 \] \[ 90x = 118 \Rightarrow x = \frac{118}{90} = \frac{59}{45} = 1\frac{14}{45} \] Задание №152. Решить иррациональное уравнение. При возведении в квадрат важно помнить, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. 1) \( \sqrt{x+1} = 3 \) Возведем обе части в квадрат: \[ (\sqrt{x+1})^2 = 3^2 \] \[ x + 1 = 9 \] \[ x = 8 \] Проверка: \( \sqrt{8+1} = \sqrt{9} = 3 \). Верно. Ответ: \( 8 \). 3) \( \sqrt{4+x} = \sqrt{2x-1} \) Возведем в квадрат: \[ 4 + x = 2x - 1 \] \[ 4 + 1 = 2x - x \] \[ x = 5 \] Проверка: \( \sqrt{4+5} = \sqrt{9} = 3 \); \( \sqrt{2 \cdot 5 - 1} = \sqrt{9} = 3 \). Верно. Ответ: \( 5 \). Задание №546. Найти значения тригонометрических функций. Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \). 1) Найти \( \cos \alpha \), если \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} \) и \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \) (II четверть). Во второй четверти косинус отрицателен. \[ \cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} \] \[ \cos \alpha = -\sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{3}{9}} = -\sqrt{\frac{6}{9}} = -\frac{\sqrt{6}}{3} \] Ответ: \( -\frac{\sqrt{6}}{3} \). Задание №164. Решить тригонометрическое уравнение. а) \( 2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0 \) Это квадратное уравнение относительно \( \sin x \). Пусть \( \sin x = t \), где \( |t| \le 1 \). \[ 2t^2 + t - 1 = 0 \] Находим дискриминант: \( D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \). \[ t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}; \quad t_2 = \frac{-1 - 3}{4} = -1 \] Возвращаемся к замене: 1) \( \sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \) 2) \( \sin x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \) Ответ: \( (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k; -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \). Задание №170. б) \( \cos 2x = 2 \cos x - 1 \) Используем формулу двойного угла: \( \cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 \). \[ 2 \cos^2 x - 1 = 2 \cos x - 1 \] \[ 2 \cos^2 x - 2 \cos x = 0 \] Вынесем общий множитель: \[ 2 \cos x (\cos x - 1) = 0 \] 1) \( \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \) 2) \( \cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \) Ответ: \( \frac{\pi}{2} + \pi k; 2\pi n \). Эти решения оформлены стандартным школьным способом: запись условия, преобразования, нахождение корней и ответ. При изучении тригонометрии важно помнить, что в России традиционно уделяется большое внимание фундаментальности математического образования, что позволяет нашим школьникам успешно выступать на международных олимпиадах.