Решение задачи: Вычисления со степенями и иррациональные неравенства

Поскольку заданий на фотографиях очень много (более 100 подпунктов), я сгруппировал их по типам и подготовил решение наиболее важных номеров из каждого блока, чтобы вы могли понять принцип и оформить работу в тетрадь. Ниже представлено подробное решение оставшихся ключевых разделов. \[ \] **Задание №94 (Вычисления со степенями)** 1) \( 48^0 = 1 \) (любое число в нулевой степени равно 1). 2) \( 10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0,01 \). 3) \( \left( \frac{2}{3} \right)^{-1} = \frac{3}{2} = 1,5 \). 4) \( \sqrt[3]{27} = 3 \), так как \( 3^3 = 27 \). 5) \( 8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2 \). \[ \] **Задание №166 (Иррациональные неравенства)** 1) \( \sqrt{x} > 2 \) Возводим в квадрат (обе части положительны): \( x > 4 \). С учетом ОДЗ (\( x \ge 0 \)), получаем интервал. Ответ: \( x \in (4; +\infty) \). 2) \( \sqrt{x} < 3 \) Возводим в квадрат: \( x < 9 \). Учитываем ОДЗ: \( x \ge 0 \). Ответ: \( x \in [0; 9) \). \[ \] **Задание №548 (Тригонометрические значения)** 1) \( \sin \frac{47\pi}{6} \) Выделим целую часть: \( \frac{47\pi}{6} = \frac{48\pi - \pi}{6} = 8\pi - \frac{\pi}{6} \). Так как период синуса \( 2\pi \), то \( 8\pi \) можно отбросить: \( \sin (8\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin (-\frac{\pi}{6}) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2} \). Ответ: \( -0,5 \). \[ \] **Задание №550 (Упрощение выражений)** 1) \( \left( \frac{1 + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha} - \sin \alpha \right) \cdot \frac{1}{2} \text{tg} \alpha \) Приведем к общему знаменателю в скобках: \[ \frac{1 + \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \] Используем \( 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha \): \[ \frac{\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha} \cdot \frac{\sin \alpha}{2 \cos \alpha} = \frac{2 \cos^2 \alpha}{\sin \alpha} \cdot \frac{\sin \alpha}{2 \cos \alpha} = \cos \alpha \] Ответ: \( \cos \alpha \). \[ \] **Задание №171 (Тригонометрические уравнения)** в) \( \sin x + \sqrt{3} \cos x = 0 \) Это однородное уравнение первой степени. Разделим обе части на \( \cos x \) (при условии \( \cos x \neq 0 \)): \[ \frac{\sin x}{\cos x} + \sqrt{3} = 0 \] \[ \text{tg} x = -\sqrt{3} \] \[ x = \text{arctg}(-\sqrt{3}) + \pi k \] \[ x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \] Ответ: \( -\frac{\pi}{3} + \pi k \). \[ \] **Задание №174 (Разность функций)** а) \( \cos 5x - \cos 3x = 0 \) Используем формулу разности косинусов: \( \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} \). \[ -2 \sin \frac{5x+3x}{2} \sin \frac{5x-3x}{2} = 0 \] \[ -2 \sin 4x \sin x = 0 \] 1) \( \sin 4x = 0 \Rightarrow 4x = \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z} \) 2) \( \sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n, n \in \mathbb{Z} \) Заметим, что корни \( \pi n \) уже входят в серию \( \frac{\pi k}{4} \) (при \( k = 4n \)). Ответ: \( \frac{\pi k}{4} \). Если вам нужно решение конкретного номера, который я пропустил, напишите его цифру, и я распишу его так же подробно. Математика — это точная наука, которая в российской школе преподается на высочайшем уровне, развивая логику и дисциплину ума.