Кыргызский государственный технический университет им. И. Раззакова
кафедра «ТОЭ и ОЭ»
дисциплина: Электротехника, электроника и электропривод факультет: КГТФ специальность: БСТ,ПМ курс: 2 (4семестр) 1-я контрольная точка
Билет №8
Задача 1
Определить токи в ветвях, если известно, что: \(E = 12 \text{ В}\), \(R_1 = 2 \text{ Ом}\), \(R_2 = 4 \text{ Ом}\), \(R_3 = 6 \text{ Ом}\).
Решение: Для решения этой задачи воспользуемся методом контурных токов или методом узловых потенциалов. В данном случае, учитывая простоту схемы, можно применить законы Кирхгофа. 1. Обозначим узлы и направления токов. На схеме уже обозначены токи \(I_1\), \(I_2\), \(I_3\). У нас есть два узла (верхний и нижний, где сходятся три ветви). 2. Составим уравнения по первому закону Кирхгофа (для узла). Для верхнего узла: \[I_1 = I_2 + I_3\] 3. Составим уравнения по второму закону Кирхгофа (для контуров). Выберем два независимых контура. Контур 1: Левый контур, содержащий источник ЭДС \(E\), резисторы \(R_2\) и \(R_1\). Обходим по часовой стрелке: \[E - I_1 R_2 - I_2 R_1 = 0\] Подставим известные значения: \[12 - I_1 \cdot 4 - I_2 \cdot 2 = 0\] Разделим на 2 для упрощения: \[6 - 2I_1 - I_2 = 0 \Rightarrow 2I_1 + I_2 = 6\] Контур 2: Правый контур, содержащий резисторы \(R_1\) и \(R_3\). Обходим по часовой стрелке: \[I_2 R_1 - I_3 R_3 = 0\] Подставим известные значения: \[I_2 \cdot 2 - I_3 \cdot 6 = 0\] Разделим на 2 для упрощения: \[I_2 - 3I_3 = 0 \Rightarrow I_2 = 3I_3\] 4. Решим систему уравнений. У нас есть система из трех уравнений с тремя неизвестными: 1) \(I_1 = I_2 + I_3\) 2) \(2I_1 + I_2 = 6\) 3) \(I_2 = 3I_3\) Подставим (3) в (1): \(I_1 = 3I_3 + I_3 \Rightarrow I_1 = 4I_3\) Теперь у нас есть \(I_1\) и \(I_2\) выраженные через \(I_3\). Подставим их во второе уравнение: \(2(4I_3) + 3I_3 = 6\) \(8I_3 + 3I_3 = 6\) \(11I_3 = 6\) \(I_3 = \frac{6}{11} \text{ А}\) \(I_3 \approx 0.545 \text{ А}\) Теперь найдем \(I_2\): \(I_2 = 3I_3 = 3 \cdot \frac{6}{11} = \frac{18}{11} \text{ А}\) \(I_2 \approx 1.636 \text{ А}\) И найдем \(I_1\): \(I_1 = I_2 + I_3 = \frac{18}{11} + \frac{6}{11} = \frac{24}{11} \text{ А}\) \(I_1 \approx 2.182 \text{ А}\) Ответ: Токи в ветвях равны: \(I_1 = \frac{24}{11} \text{ А} \approx 2.18 \text{ А}\) \(I_2 = \frac{18}{11} \text{ А} \approx 1.64 \text{ А}\) \(I_3 = \frac{6}{11} \text{ А} \approx 0.55 \text{ А}\)
Задача 2
В схеме определить показание ваттметра, если \(U = 100 \text{ В}\), а показания приборов: \(A \to 1 \text{ А}\); \(V_1 \to 150 \text{ В}\); \(V_2 \to 100 \text{ В}\).
Решение: 1. Анализ схемы и показаний приборов. * Амперметр \(A\) показывает общий ток в цепи: \(I = 1 \text{ А}\). * Вольтметр \(V_1\) показывает напряжение на последовательно соединенных резисторе \(r\) и индуктивности \(L\): \(U_{rL} = 150 \text{ В}\). * Вольтметр \(V_2\) показывает напряжение на конденсаторе \(C\): \(U_C = 100 \text{ В}\). * Общее напряжение источника: \(U = 100 \text{ В}\). * Ваттметр \(W\) измеряет активную мощность в цепи. Он подключен так, что его токовая обмотка включена последовательно с цепью, а обмотка напряжения параллельно участку с \(r\) и \(L\). Следовательно, ваттметр измеряет активную мощность, потребляемую резистором \(r\). 2. Определение активной мощности. Активная мощность, измеряемая ваттметром, определяется как \(P = U_r \cdot I \cdot \cos(\phi_r)\), где \(\phi_r\) - угол между напряжением на резисторе и током. Поскольку для резистора напряжение и ток совпадают по фазе, \(\cos(\phi_r) = 1\), и \(P = U_r \cdot I\). Нам нужно найти напряжение на резисторе \(r\), \(U_r\). 3. Использование векторной диаграммы или комплексных чисел. В цепи переменного тока с последовательным соединением элементов \(r\), \(L\), \(C\) общее напряжение \(U\) связано с напряжениями на отдельных элементах следующим образом: \[\vec{U} = \vec{U_r} + \vec{U_L} + \vec{U_C}\] Модуль общего напряжения: \[U = \sqrt{U_r^2 + (U_L - U_C)^2}\] Напряжение на участке \(rL\) (показание \(V_1\)) равно: \[U_{rL} = \sqrt{U_r^2 + U_L^2}\] У нас есть: \(U = 100 \text{ В}\) \(I = 1 \text{ А}\) \(U_{rL} = 150 \text{ В}\) \(U_C = 100 \text{ В}\) Из формулы для \(U_{rL}\): \(U_{rL}^2 = U_r^2 + U_L^2\) \(150^2 = U_r^2 + U_L^2\) \(22500 = U_r^2 + U_L^2\) (Уравнение 1) Из формулы для общего напряжения \(U\): \(U^2 = U_r^2 + (U_L - U_C)^2\) \(100^2 = U_r^2 + (U_L - 100)^2\) \(10000 = U_r^2 + U_L^2 - 200U_L + 10000\) (Уравнение 2) Подставим \(U_r^2 + U_L^2 = 22500\) из Уравнения 1 в Уравнение 2: \(10000 = 22500 - 200U_L + 10000\) \(10000 = 32500 - 200U_L\) \(200U_L = 32500 - 10000\) \(200U_L = 22500\) \(U_L = \frac{22500}{200} = 112.5 \text{ В}\) Теперь, зная \(U_L\), найдем \(U_r\) из Уравнения 1: \(U_r^2 = 22500 - U_L^2\) \(U_r^2 = 22500 - (112.5)^2\) \(U_r^2 = 22500 - 12656.25\) \(U_r^2 = 9843.75\) \(U_r = \sqrt{9843.75} \approx 99.215 \text{ В}\) 4. Расчет показания ваттметра. Ваттметр измеряет активную мощность, потребляемую резистором \(r\). \(P_W = U_r \cdot I\) \(P_W = 99.215 \text{ В} \cdot 1 \text{ А}\) \(P_W = 99.215 \text{ Вт}\) Ответ: Показание ваттметра составляет примерно \(99.22 \text{ Вт}\).
3В. Построение потенциальной диаграммы.
К сожалению, для построения потенциальной диаграммы требуется конкретная схема и значения элементов, а также точка отсчета потенциала. В данном билете нет отдельной схемы для этого пункта, и он, вероятно, относится к одной из предыдущих задач или является общим заданием. Если бы это относилось к Задаче 1, то для построения потенциальной диаграммы нужно выбрать одну точку в схеме (например, нижний провод) и присвоить ей потенциал 0 В. Затем, двигаясь по ветвям, рассчитывать потенциалы в каждой точке, учитывая падения напряжения на резисторах и ЭДС источников. Например, для Задачи 1: Пусть потенциал нижней шины \(\varphi_0 = 0 \text{ В}\). Тогда потенциал точки между \(R_1\) и \(R_2\) (нижний узел) также \(0 \text{ В}\). Потенциал точки после \(R_1\) (правый нижний угол) также \(0 \text{ В}\). Потенциал точки перед \(R_2\) (левый нижний угол) также \(0 \text{ В}\). Двигаясь от нижней шины через источник ЭДС \(E\): Потенциал точки после источника \(E\) (верхний левый угол) будет \(\varphi_E = E = 12 \text{ В}\). Двигаясь от \(\varphi_E\) через \(R_2\): Потенциал верхнего узла (где сходятся \(I_1, I_2, I_3\)) будет \(\varphi_{узел} = \varphi_E - I_1 R_2 = 12 - \frac{24}{11} \cdot 4 = 12 - \frac{96}{11} = \frac{132 - 96}{11} = \frac{36}{11} \text{ В} \approx 3.27 \text{ В}\). Проверим через другие ветви: Потенциал верхнего узла через \(R_3\): \(\varphi_{узел} = 0 + I_3 R_3 = \frac{6}{11} \cdot 6 = \frac{36}{11} \text{ В}\). Совпадает. Потенциал верхнего узла через \(R_1\): \(\varphi_{узел} = 0 + I_2 R_1 = \frac{18}{11} \cdot 2 = \frac{36}{11} \text{ В}\). Совпадает. Потенциальная диаграмма строится как график зависимости потенциала от координаты вдоль выбранного контура. Для этого нужно выбрать путь (например, по внешнему контуру) и откладывать потенциалы в ключевых точках.Зав. каф. «ТОЭ и ОЭ» ____________________ Экзаменатор ____________________