Вот решение задачи 56, где нужно заполнить таблицу для прямоугольников.
Для каждого прямоугольника мы будем использовать следующие формулы:
Площадь прямоугольника \(S = a \cdot b\), где \(a\) - длина, \(b\) - ширина.
Периметр прямоугольника \(P = 2 \cdot (a + b)\), где \(a\) - длина, \(b\) - ширина.
Давайте заполним таблицу по столбцам.
Первый столбец:
Дано:
Длина \(a = 6\) см
Ширина \(b = 7\) см
Найдём площадь:
\(S = a \cdot b = 6 \text{ см} \cdot 7 \text{ см} = 42 \text{ см}^2\)
Найдём периметр:
\(P = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (6 \text{ см} + 7 \text{ см}) = 2 \cdot 13 \text{ см} = 26 \text{ см}\)
Заполняем первый столбец:
Длина: 6 см
Ширина: 7 см
Площадь: 42 см\(^2\)
Периметр: 26 см
Второй столбец:
Дано:
Площадь \(S = 56\) см\(^2\)
Периметр \(P = 16\) см
Нам нужно найти длину \(a\) и ширину \(b\).
Из формулы периметра:
\(P = 2 \cdot (a + b)\)
\(16 = 2 \cdot (a + b)\)
\(a + b = 16 : 2\)
\(a + b = 8\)
Из формулы площади:
\(S = a \cdot b\)
\(56 = a \cdot b\)
Теперь у нас есть система уравнений:
1) \(a + b = 8\)
2) \(a \cdot b = 56\)
Из первого уравнения выразим \(b\): \(b = 8 - a\).
Подставим это во второе уравнение:
\(a \cdot (8 - a) = 56\)
\(8a - a^2 = 56\)
\(a^2 - 8a + 56 = 0\)
Давайте попробуем найти дискриминант для этого квадратного уравнения:
\(D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 64 - 224 = -160\)
Так как дискриминант отрицательный (\(D < 0\)), это означает, что у данного квадратного уравнения нет действительных корней. Это указывает на то, что прямоугольника с такими заданными площадью и периметром не существует. Возможно, в задании опечатка.
Однако, если предположить, что в таблице указаны данные для разных прямоугольников, и 16 см - это периметр для другого прямоугольника, а 56 см\(^2\) - площадь для третьего, то это не соответствует структуре таблицы, где каждый столбец относится к одному прямоугольнику.
Если же 16 см - это периметр, а 56 см\(^2\) - это площадь, то такой прямоугольник не существует.
Давайте перепроверим, возможно, я неправильно понял, что 16 см и 56 см\(^2\) относятся к одному прямоугольнику.
В таблице 56 см\(^2\) находится в строке "Площадь", а 16 см в строке "Периметр". Они находятся в разных столбцах.
Значит, 56 см\(^2\) - это площадь для одного прямоугольника, а 16 см - это периметр для другого.
Давайте рассмотрим столбец, где указан только периметр 16 см.
Столбец с периметром 16 см:
Дано:
Периметр \(P = 16\) см
Нам нужно найти длину \(a\) и ширину \(b\).
\(P = 2 \cdot (a + b)\)
\(16 = 2 \cdot (a + b)\)
\(a + b = 8\)
Без дополнительной информации (длины, ширины или площади) мы не можем однозначно определить \(a\) и \(b\).
В таблице этот столбец пустой, кроме периметра.
Возможно, это означает, что нужно найти все возможные целые значения для \(a\) и \(b\).
Если \(a\) и \(b\) - целые числа, то пары \((a, b)\) могут быть:
(1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4)
Их площади будут:
\(1 \cdot 7 = 7\) см\(^2\)
\(2 \cdot 6 = 12\) см\(^2\)
\(3 \cdot 5 = 15\) см\(^2\)
\(4 \cdot 4 = 16\) см\(^2\)
Но обычно в таких задачах предполагается, что есть только одно решение.
Давайте посмотрим на столбец, где указана только площадь 56 см\(^2\).
Столбец с площадью 56 см\(^2\):
Дано:
Площадь \(S = 56\) см\(^2\)
Нам нужно найти длину \(a\) и ширину \(b\).
\(S = a \cdot b = 56\)
Без дополнительной информации (длины, ширины или периметра) мы не можем однозначно определить \(a\) и \(b\).
Возможные пары \((a, b)\) для целых чисел:
(1, 56), (2, 28), (4, 14), (7, 8)
Их периметры будут:
\(2 \cdot (1 + 56) = 114\) см
\(2 \cdot (2 + 28) = 60\) см
\(2 \cdot (4 + 14) = 36\) см
\(2 \cdot (7 + 8) = 30\) см
Похоже, что в таблице есть пропуски, которые нужно заполнить, используя данные из других столбцов или подразумевая, что это отдельные задачи.
Давайте пересмотрим структуру таблицы. Каждая вертикальная колонка представляет собой отдельный прямоугольник.
Третий столбец:
Дано:
Длина \(a = 4\) см
Ширина \(b = 8\) см
Найдём площадь:
\(S = a \cdot b = 4 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 32 \text{ см}^2\)
Найдём периметр:
\(P = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (4 \text{ см} + 8 \text{ см}) = 2 \cdot 12 \text{ см} = 24 \text{ см}\)
Заполняем третий столбец:
Длина: 4 см
Ширина: 8 см
Площадь: 32 см\(^2\)
Периметр: 24 см
Четвёртый столбец:
Дано:
Площадь \(S = 45\) см\(^2\)
Нам нужно найти длину \(a\) и ширину \(b\).
\(S = a \cdot b = 45\)
Без дополнительной информации (длины, ширины или периметра) мы не можем однозначно определить \(a\) и \(b\).
Возможные пары \((a, b)\) для целых чисел:
(1, 45), (3, 15), (5, 9)
Их периметры будут:
\(2 \cdot (1 + 45) = 92\) см
\(2 \cdot (3 + 15) = 36\) см
\(2 \cdot (5 + 9) = 28\) см
Пятый столбец:
Дано:
Периметр \(P = 32\) см
Нам нужно найти длину \(a\) и ширину \(b\).
\(P = 2 \cdot (a + b)\)
\(32 = 2 \cdot (a + b)\)
\(a + b = 16\)
Без дополнительной информации (длины, ширины или площади) мы не можем однозначно определить \(a\) и \(b\).
Возможные пары \((a, b)\) для целых чисел:
(1, 15), (2, 14), (3, 13), (4, 12), (5, 11), (6, 10), (7, 9), (8, 8)
Их площади будут:
\(1 \cdot 15 = 15\) см\(^2\)
\(2 \cdot 14 = 28\) см\(^2\)
\(3 \cdot 13 = 39\) см\(^2\)
\(4 \cdot 12 = 48\) см\(^2\)
\(5 \cdot 11 = 55\) см\(^2\)
\(6 \cdot 10 = 60\) см\(^2\)
\(7 \cdot 9 = 63\) см\(^2\)
\(8 \cdot 8 = 64\) см\(^2\)
Шестой столбец:
Дано:
Длина \(a = 3\) см
Ширина \(b = 6\) см
Найдём площадь:
\(S = a \cdot b = 3 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 18 \text{ см}^2\)
Найдём периметр:
\(P = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (3 \text{ см} + 6 \text{ см}) = 2 \cdot 9 \text{ см} = 18 \text{ см}\)
Заполняем шестой столбец:
Длина: 3 см
Ширина: 6 см
Площадь: 18 см\(^2\)
Периметр: 18 см
Пересмотр задачи с учетом всех данных в таблице:
Похоже, что в таблице есть данные, которые нужно использовать для заполнения пропусков.
Давайте заполним таблицу, используя все данные, которые есть в строках и столбцах.
Столбец 1:
Длина: 6 см
Ширина: 7 см
Площадь: \(6 \cdot 7 = 42\) см\(^2\)
Периметр: \(2 \cdot (6 + 7) = 2 \cdot 13 = 26\) см
Столбец 2:
В этом столбце есть только 56 см\(^2\) в строке "Площадь".
Значит, \(S = 56\) см\(^2\).
Нам нужно найти \(a\), \(b\) и \(P\).
Без дополнительной информации мы не можем однозначно заполнить этот столбец.
Возможно, это часть другой задачи или подразумевается, что нужно выбрать одну из возможных пар длины и ширины.
Если бы была дана длина или ширина, мы бы нашли вторую сторону и периметр.
Например, если длина 8 см, то ширина \(56 : 8 = 7\) см. Периметр \(2 \cdot (8 + 7) = 30\) см.
Если длина 7 см, то ширина \(56 : 7 = 8\) см. Периметр \(2 \cdot (7 + 8) = 30\) см.
Если длина 14 см, то ширина \(56 : 14 = 4\) см. Периметр \(2 \cdot (14 + 4) = 36\) см.
Столбец 3:
Длина: 4 см
Ширина: 8 см
Площадь: \(4 \cdot 8 = 32\) см\(^2\)
Периметр: \(2 \cdot (4 + 8) = 2 \cdot 12 = 24\) см
Столбец 4:
В этом столбце есть только 45 см\(^2\) в строке "Площадь".
Значит, \(S = 45\) см\(^2\).
Нам нужно найти \(a\), \(b\) и \(P\).
Без дополнительной информации мы не можем однозначно заполнить этот столбец.
Например, если длина 5 см, то ширина \(45 : 5 = 9\) см. Периметр \(2 \cdot (5 + 9) = 28\) см.
Если длина 9 см, то ширина \(45 : 9 = 5\) см. Периметр \(2 \cdot (9 + 5) = 28\) см.
Если длина 3 см, то ширина \(45 : 3 = 15\) см. Периметр \(2 \cdot (3 + 15) = 36\) см.
Столбец 5:
В этом столбце есть только 16 см в строке "Периметр".
Значит, \(P = 16\) см.
Нам нужно найти \(a\), \(b\) и \(S\).
\(2 \cdot (a + b) = 16\)
\(a + b = 8\)
Без дополнительной информации мы не можем однозначно заполнить этот столбец.
Например, если длина 3 см, то ширина \(8 - 3 = 5\) см. Площадь \(3 \cdot 5 = 15\) см\(^2\).
Если длина 4 см, то ширина \(8 - 4 = 4\) см. Площадь \(4 \cdot 4 = 16\) см\(^2\).
Столбец 6:
В этом столбце есть только 32 см в строке "Периметр".
Значит, \(P = 32\) см.
Нам нужно найти \(a\), \(b\) и \(S\).
\(2 \cdot (a + b) = 32\)
\(a + b = 16\)
Без дополнительной информации мы не можем однозначно заполнить этот столбец.
Например, если длина 7 см, то ширина \(16 - 7 = 9\) см. Площадь \(7 \cdot 9 = 63\) см\(^2\).
Если длина 8 см, то ширина \(16 - 8 = 8\) см. Площадь \(8 \cdot 8 = 64\) см\(^2\).
Столбец 7:
Длина: 3 см
Ширина: 6 см
Площадь: \(3 \cdot 6 = 18\) см\(^2\)
Периметр: \(2 \cdot (3 + 6) = 2 \cdot 9 = 18\) см
Вывод:
В задаче есть несколько столбцов, которые невозможно заполнить однозначно, так как не хватает данных. Обычно в таких задачах либо даны все необходимые данные для каждого прямоугольника, либо есть подсказка, как их найти (например, "если длина на 2 см больше ширины").
Если задача предполагает, что нужно заполнить только те ячейки, для которых есть достаточно данных, то таблица будет выглядеть так:
|
Прямоугольник 1 |
Прямоугольник 2 |
Прямоугольник 3 |
Прямоугольник 4 |
Прямоугольник 5 |
Прямоугольник 6 |
Прямоугольник 7 |
| Длина |
6 см |
|
4 см |
|
|
|
3 см |
| Ширина |
7 см |
|
8 см |
|
|
|
6 см |
| Площадь |
42 см\(^2\) |
56 см\(^2\) |
32 см\(^2\) |
45 см\(^2\) |
|
|
18 см\(^2\) |
| Периметр |
26 см |
|
24 см |
|
16 см |
32 см |
18 см |
Заполненные ячейки:
|
Прямоугольник 1 |
Прямоугольник 2 |
Прямоугольник 3 |
Прямоугольник 4 |
Прямоугольник 5 |
Прямоугольник 6 |
Прямоугольник 7 |
| Длина |
6 см |
|
4 см |
|
|
|
3 см |
| Ширина |
7 см |
|
8 см |
|
|
|
6 см |
| Площадь |
42 см\(^2\) |
56 см\(^2\) |
32 см\(^2\) |
45 см\(^2\) |
|
|
18 см\(^2\) |
| Периметр |
26 см |
|
24 см |
|
16 см |
32 см |
18 см |
Если же предполагается, что все ячейки должны быть заполнены, то в задании есть неполные данные. В школьных задачах обычно не бывает таких неоднозначностей. Возможно, есть невидимые части задания или контекст, который позволяет выбрать конкретные значения для длины и ширины в незаполненных столбцах.
Если нужно выбрать какие-то конкретные значения для незаполненных столбцов, то обычно выбирают наименьшие целые числа или числа, которые дают "красивые" результаты.
Например, для площади 56 см\(^2\) можно выбрать длину 7 см и ширину 8 см (или наоборот). Тогда периметр будет 30 см.
Для площади 45 см\(^2\) можно выбрать длину 5 см и ширину 9 см (или наоборот). Тогда периметр будет 28 см.
Для периметра 16 см, где \(a+b=8\), можно выбрать длину 3 см и ширину 5 см (или наоборот). Тогда площадь будет 15 см\(^2\). Или длину 4 см и ширину 4 см (квадрат). Тогда площадь будет 16 см\(^2\).
Для периметра 32 см, где \(a+b=16\), можно выбрать длину 7 см и ширину 9 см (или наоборот). Тогда площадь будет 63 см\(^2\). Или длину 8 см и ширину 8 см (квадрат). Тогда площадь будет 64 см\(^2\).
Без дополнительных указаний, я не могу однозначно заполнить эти столбцы. Я заполнил только те, для которых есть полные данные.
