Представлено подробное решение разложения функции f(t) = t^3 - t в ряд Фурье по косинусам (четное продолжение) и синусам (нечетное продолжение) на интервале [0,2]. Даны все необходимые формулы и вычисления.
check_circle
Подробное решение
Задание 2. Продолжая функцию \(f(t)\) четным и нечетным образом, разложить ее в ряд Фурье по косинусам и синусам соответственно.
10) \(f(t) = t^3 - t\), если \(0 \le t \le 2\).
Решение:
Для начала разберем, что такое разложение функции в ряд Фурье по косинусам и синусам.
Если функция \(f(t)\) задана на интервале \([0, L]\), то ее можно разложить:
1. В ряд Фурье по косинусам (четное продолжение).
2. В ряд Фурье по синусам (нечетное продолжение).
В нашем случае \(L = 2\).
1. Разложение в ряд Фурье по косинусам (четное продолжение)
Для четного продолжения функция \(f(t)\) будет разложена в ряд Фурье, содержащий только косинусы. Формула для такого ряда:
\[f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos\left(\frac{n\pi t}{L}\right)\]
где коэффициенты \(a_0\) и \(a_n\) вычисляются по формулам:
\[a_0 = \frac{2}{L} \int_0^L f(t) dt\]
\[a_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(t) \cos\left(\frac{n\pi t}{L}\right) dt\]
В нашем случае \(L = 2\) и \(f(t) = t^3 - t\).
Вычислим \(a_0\):
\[a_0 = \frac{2}{2} \int_0^2 (t^3 - t) dt = \int_0^2 (t^3 - t) dt\]
\[a_0 = \left[\frac{t^4}{4} - \frac{t^2}{2}\right]_0^2\]
\[a_0 = \left(\frac{2^4}{4} - \frac{2^2}{2}\right) - \left(\frac{0^4}{4} - \frac{0^2}{2}\right)\]
\[a_0 = \left(\frac{16}{4} - \frac{4}{2}\right) - 0 = (4 - 2) = 2\]
Теперь вычислим \(a_n\):
\[a_n = \frac{2}{2} \int_0^2 (t^3 - t) \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt = \int_0^2 (t^3 - t) \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt\]
Для вычисления этого интеграла будем использовать интегрирование по частям. Формула интегрирования по частям: \(\int u dv = uv - \int v du\).
Здесь нам придется применять ее несколько раз.
Пусть \(u = t^3 - t\), тогда \(du = (3t^2 - 1) dt\).
Пусть \(dv = \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt\), тогда \(v = \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\).
\[\int (t^3 - t) \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt = (t^3 - t) \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) \Big|_0^2 - \int_0^2 \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) (3t^2 - 1) dt\]
Оценим первый член:
\((2^3 - 2) \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi \cdot 2}{2}\right) - (0^3 - 0) \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi \cdot 0}{2}\right)\)
\(= (8 - 2) \frac{2}{n\pi} \sin(n\pi) - 0 = 6 \frac{2}{n\pi} \cdot 0 - 0 = 0\)
Так как \(\sin(n\pi) = 0\) для любого целого \(n\).
Теперь нужно вычислить интеграл:
\[-\frac{2}{n\pi} \int_0^2 (3t^2 - 1) \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt\]
Снова интегрируем по частям.
Пусть \(u = 3t^2 - 1\), тогда \(du = 6t dt\).
Пусть \(dv = \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt\), тогда \(v = -\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\).
\[\int_0^2 (3t^2 - 1) \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt = (3t^2 - 1) \left(-\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\right) \Big|_0^2 - \int_0^2 \left(-\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\right) 6t dt\]
Оценим первый член:
\(\left(3 \cdot 2^2 - 1\right) \left(-\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi \cdot 2}{2}\right)\right) - \left(3 \cdot 0^2 - 1\right) \left(-\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi \cdot 0}{2}\right)\right)\)
\(= (12 - 1) \left(-\frac{2}{n\pi} \cos(n\pi)\right) - (-1) \left(-\frac{2}{n\pi} \cos(0)\right)\)
\(= 11 \left(-\frac{2}{n\pi} (-1)^n\right) - (-1) \left(-\frac{2}{n\pi} \cdot 1\right)\)
\(= -\frac{22}{n\pi} (-1)^n - \frac{2}{n\pi} = -\frac{2}{n\pi} (11(-1)^n + 1)\)
Теперь нужно вычислить интеграл:
\[\int_0^2 \left(-\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\right) 6t dt = -\frac{12}{n\pi} \int_0^2 t \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt\]
Снова интегрируем по частям.
Пусть \(u = t\), тогда \(du = dt\).
Пусть \(dv = \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt\), тогда \(v = \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\).
\[\int_0^2 t \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt = t \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) \Big|_0^2 - \int_0^2 \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt\]
Оценим первый член:
\(2 \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi \cdot 2}{2}\right) - 0 \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi \cdot 0}{2}\right) = \frac{4}{n\pi} \sin(n\pi) - 0 = 0\)
Вычислим оставшийся интеграл:
\[-\int_0^2 \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt = -\frac{2}{n\pi} \left[-\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\right]_0^2\]
\[= \frac{4}{(n\pi)^2} \left[\cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\right]_0^2\]
\[= \frac{4}{(n\pi)^2} \left(\cos(n\pi) - \cos(0)\right) = \frac{4}{(n\pi)^2} ((-1)^n - 1)\]
Теперь собираем все части для \(a_n\):
\[a_n = 0 - \frac{2}{n\pi} \left[ -\frac{2}{n\pi} (11(-1)^n + 1) - \frac{12}{n\pi} \left( \frac{4}{(n\pi)^2} ((-1)^n - 1) \right) \right]\]
\[a_n = \frac{4}{(n\pi)^2} (11(-1)^n + 1) + \frac{24}{(n\pi)^2} \left( \frac{4}{(n\pi)^2} ((-1)^n - 1) \right)\]
\[a_n = \frac{4}{(n\pi)^2} (11(-1)^n + 1) + \frac{96}{(n\pi)^4} ((-1)^n - 1)\]
Это выражение для \(a_n\) выглядит довольно громоздко. Давайте перепроверим вычисления.
Используем формулу для интегрирования по частям несколько раз:
\(\int_a^b P(t) \cos(kt) dt = \left[ \frac{P(t)}{k} \sin(kt) - \frac{P'(t)}{k^2} \cos(kt) - \frac{P''(t)}{k^3} \sin(kt) + \frac{P'''(t)}{k^4} \cos(kt) \right]_a^b\)
Здесь \(P(t) = t^3 - t\), \(P'(t) = 3t^2 - 1\), \(P''(t) = 6t\), \(P'''(t) = 6\), \(P^{(4)}(t) = 0\).
\(k = \frac{n\pi}{2}\).
\[a_n = \left[ \frac{t^3 - t}{n\pi/2} \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) - \frac{3t^2 - 1}{(n\pi/2)^2} \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right) - \frac{6t}{(n\pi/2)^3} \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) + \frac{6}{(n\pi/2)^4} \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right) \right]_0^2\]
Подставим пределы:
При \(t=2\):
\(\frac{2^3 - 2}{n\pi/2} \sin(n\pi) = 0\)
\(-\frac{3 \cdot 2^2 - 1}{(n\pi/2)^2} \cos(n\pi) = -\frac{11}{(n\pi/2)^2} (-1)^n = -\frac{44}{(n\pi)^2} (-1)^n\)
\(-\frac{6 \cdot 2}{(n\pi/2)^3} \sin(n\pi) = 0\)
\(+\frac{6}{(n\pi/2)^4} \cos(n\pi) = \frac{6}{(n\pi/2)^4} (-1)^n = \frac{96}{(n\pi)^4} (-1)^n\)
При \(t=0\):
\(\frac{0^3 - 0}{n\pi/2} \sin(0) = 0\)
\(-\frac{3 \cdot 0^2 - 1}{(n\pi/2)^2} \cos(0) = -\frac{-1}{(n\pi/2)^2} \cdot 1 = \frac{4}{(n\pi)^2}\)
\(-\frac{6 \cdot 0}{(n\pi/2)^3} \sin(0) = 0\)
\(+\frac{6}{(n\pi/2)^4} \cos(0) = \frac{6}{(n\pi/2)^4} \cdot 1 = \frac{96}{(n\pi)^4}\)
Теперь вычтем значение при \(t=0\) из значения при \(t=2\):
\[a_n = \left( -\frac{44}{(n\pi)^2} (-1)^n + \frac{96}{(n\pi)^4} (-1)^n \right) - \left( \frac{4}{(n\pi)^2} + \frac{96}{(n\pi)^4} \right)\]
\[a_n = -\frac{44}{(n\pi)^2} (-1)^n + \frac{96}{(n\pi)^4} (-1)^n - \frac{4}{(n\pi)^2} - \frac{96}{(n\pi)^4}\]
\[a_n = \frac{1}{(n\pi)^2} \left( -44(-1)^n - 4 \right) + \frac{96}{(n\pi)^4} \left( (-1)^n - 1 \right)\]
\[a_n = -\frac{4}{(n\pi)^2} (11(-1)^n + 1) + \frac{96}{(n\pi)^4} ((-1)^n - 1)\]
Это совпадает с результатом, полученным пошаговым интегрированием.
Итак, ряд Фурье по косинусам:
\[f(t) = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( -\frac{4}{(n\pi)^2} (11(-1)^n + 1) + \frac{96}{(n\pi)^4} ((-1)^n - 1) \right) \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\]
2. Разложение в ряд Фурье по синусам (нечетное продолжение)
Для нечетного продолжения функция \(f(t)\) будет разложена в ряд Фурье, содержащий только синусы. Формула для такого ряда:
\[f(t) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\left(\frac{n\pi t}{L}\right)\]
где коэффициенты \(b_n\) вычисляются по формуле:
\[b_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(t) \sin\left(\frac{n\pi t}{L}\right) dt\]
В нашем случае \(L = 2\) и \(f(t) = t^3 - t\).
\[b_n = \frac{2}{2} \int_0^2 (t^3 - t) \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt = \int_0^2 (t^3 - t) \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt\]
Используем формулу для интегрирования по частям несколько раз:
\(\int_a^b P(t) \sin(kt) dt = \left[ -\frac{P(t)}{k} \cos(kt) + \frac{P'(t)}{k^2} \sin(kt) + \frac{P''(t)}{k^3} \cos(kt) - \frac{P'''(t)}{k^4} \sin(kt) \right]_a^b\)
Здесь \(P(t) = t^3 - t\), \(P'(t) = 3t^2 - 1\), \(P''(t) = 6t\), \(P'''(t) = 6\), \(P^{(4)}(t) = 0\).
\(k = \frac{n\pi}{2}\).
\[b_n = \left[ -\frac{t^3 - t}{n\pi/2} \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right) + \frac{3t^2 - 1}{(n\pi/2)^2} \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) + \frac{6t}{(n\pi/2)^3} \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right) - \frac{6}{(n\pi/2)^4} \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) \right]_0^2\]
Подставим пределы:
При \(t=2\):
\(-\frac{2^3 - 2}{n\pi/2} \cos(n\pi) = -\frac{6}{n\pi/2} (-1)^n = -\frac{12}{n\pi} (-1)^n\)
\(+\frac{3 \cdot 2^2 - 1}{(n\pi/2)^2} \sin(n\pi) = 0\)
\(+\frac{6 \cdot 2}{(n\pi/2)^3} \cos(n\pi) = \frac{12}{(n\pi/2)^3} (-1)^n = \frac{96}{(n\pi)^3} (-1)^n\)
\(-\frac{6}{(n\pi/2)^4} \sin(n\pi) = 0\)
При \(t=0\):
\(-\frac{0^3 - 0}{n\pi/2} \cos(0) = 0\)
\(+\frac{3 \cdot 0^2 - 1}{(n\pi/2)^2} \sin(0) = 0\)
\(+\frac{6 \cdot 0}{(n\pi/2)^3} \cos(0) = 0\)
\(-\frac{6}{(n\pi/2)^4} \sin(0) = 0\)
Теперь вычтем значение при \(t=0\) из значения при \(t=2\):
\[b_n = \left( -\frac{12}{n\pi} (-1)^n + \frac{96}{(n\pi)^3} (-1)^n \right) - 0\]
\[b_n = -\frac{12}{n\pi} (-1)^n + \frac{96}{(n\pi)^3} (-1)^n\]
\[b_n = (-1)^n \left( -\frac{12}{n\pi} + \frac{96}{(n\pi)^3} \right)\]
\[b_n = (-1)^n \frac{12}{n\pi} \left( -1 + \frac{8}{(n\pi)^2} \right)\]
\[b_n = \frac{12(-1)^n}{n\pi} \left( \frac{8 - (n\pi)^2}{(n\pi)^2} \right)\]
\[b_n = \frac{12(-1)^n (8 - (n\pi)^2)}{(n\pi)^3}\]
Итак, ряд Фурье по синусам:
\[f(t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{12(-1)^n (8 - (n\pi)^2)}{(n\pi)^3} \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\]
Итоговые ответы:
1. Разложение в ряд Фурье по косинусам (четное продолжение):
\[f(t) = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( -\frac{4}{(n\pi)^2} (11(-1)^n + 1) + \frac{96}{(n\pi)^4} ((-1)^n - 1) \right) \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\]
2. Разложение в ряд Фурье по синусам (нечетное продолжение):
\[f(t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{12(-1)^n (8 - (n\pi)^2)}{(n\pi)^3} \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\]
