Решение задачи: Разложение f(t) = t^3 - t в ряд Фурье

Задание 2. Продолжая функцию \(f(t)\) четным и/или нечетным образом, разложить ее в ряд Фурье по косинусам и/или синусам кратных фуз. 10) \(f(t) = t^3 - t\), если \(0 \le t \le 2\). Решение: Нам дана функция \(f(t) = t^3 - t\) на интервале \(0 \le t \le 2\). Нам нужно разложить эту функцию в ряд Фурье. В зависимости от того, как мы продолжим функцию (четным или нечетным образом), мы получим ряд Фурье по косинусам или по синусам. Сначала определимся с длиной интервала. Длина интервала \(L = 2 - 0 = 2\). 1. Разложение в ряд Фурье по косинусам (четное продолжение). Если мы продолжаем функцию четным образом, то ее разложение в ряд Фурье будет содержать только косинусы. Формула для ряда Фурье по косинусам: \[f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos\left(\frac{n\pi t}{L}\right)\] где коэффициенты \(a_0\) и \(a_n\) вычисляются по формулам: \[a_0 = \frac{2}{L} \int_0^L f(t) dt\] \[a_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(t) \cos\left(\frac{n\pi t}{L}\right) dt\] В нашем случае \(L = 2\), поэтому: \[a_0 = \frac{2}{2} \int_0^2 (t^3 - t) dt = \int_0^2 (t^3 - t) dt\] \[a_n = \frac{2}{2} \int_0^2 (t^3 - t) \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt = \int_0^2 (t^3 - t) \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt\] Вычислим \(a_0\): \[a_0 = \int_0^2 (t^3 - t) dt = \left[\frac{t^4}{4} - \frac{t^2}{2}\right]_0^2\] \[a_0 = \left(\frac{2^4}{4} - \frac{2^2}{2}\right) - \left(\frac{0^4}{4} - \frac{0^2}{2}\right)\] \[a_0 = \left(\frac{16}{4} - \frac{4}{2}\right) - 0 = (4 - 2) = 2\] Теперь вычислим \(a_n\). Это потребует интегрирования по частям несколько раз. \[a_n = \int_0^2 (t^3 - t) \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt\] Для удобства обозначим \(k = \frac{n\pi}{2}\). Тогда интеграл будет: \[a_n = \int_0^2 (t^3 - t) \cos(kt) dt\] Используем формулу интегрирования по частям: \(\int u dv = uv - \int v du\). Пусть \(u = t^3 - t\), тогда \(du = (3t^2 - 1) dt\). Пусть \(dv = \cos(kt) dt\), тогда \(v = \frac{1}{k} \sin(kt)\). \[\int (t^3 - t) \cos(kt) dt = (t^3 - t) \frac{1}{k} \sin(kt) \Big|_0^2 - \int_0^2 \frac{1}{k} \sin(kt) (3t^2 - 1) dt\] Подставим пределы для первого члена: \[\left((2^3 - 2) \frac{1}{k} \sin(2k)\right) - \left((0^3 - 0) \frac{1}{k} \sin(0)\right)\] \[= (8 - 2) \frac{1}{k} \sin(2k) - 0 = \frac{6}{k} \sin(2k)\] Так как \(k = \frac{n\pi}{2}\), то \(2k = n\pi\). \[\sin(2k) = \sin(n\pi) = 0\] Значит, первый член равен 0. \[a_n = - \frac{1}{k} \int_0^2 (3t^2 - 1) \sin(kt) dt\] Снова интегрируем по частям. Пусть \(u = 3t^2 - 1\), тогда \(du = 6t dt\). Пусть \(dv = \sin(kt) dt\), тогда \(v = -\frac{1}{k} \cos(kt)\). \[\int (3t^2 - 1) \sin(kt) dt = (3t^2 - 1) \left(-\frac{1}{k} \cos(kt)\right) \Big|_0^2 - \int_0^2 \left(-\frac{1}{k} \cos(kt)\right) 6t dt\] \[= -\frac{1}{k} (3t^2 - 1) \cos(kt) \Big|_0^2 + \frac{6}{k} \int_0^2 t \cos(kt) dt\] Подставим пределы для первого члена: \[-\frac{1}{k} \left[ (3 \cdot 2^2 - 1) \cos(2k) - (3 \cdot 0^2 - 1) \cos(0) \right]\] \[= -\frac{1}{k} \left[ (12 - 1) \cos(n\pi) - (-1) \cdot 1 \right]\] \[= -\frac{1}{k} \left[ 11 (-1)^n + 1 \right]\] Теперь нужно вычислить \(\int_0^2 t \cos(kt) dt\). Снова интегрируем по частям. Пусть \(u = t\), тогда \(du = dt\). Пусть \(dv = \cos(kt) dt\), тогда \(v = \frac{1}{k} \sin(kt)\). \[\int_0^2 t \cos(kt) dt = t \frac{1}{k} \sin(kt) \Big|_0^2 - \int_0^2 \frac{1}{k} \sin(kt) dt\] \[= \left(2 \frac{1}{k} \sin(2k) - 0\right) - \frac{1}{k} \left[-\frac{1}{k} \cos(kt)\right]_0^2\] \[= \frac{2}{k} \sin(n\pi) + \frac{1}{k^2} [\cos(kt)]_0^2\] \[= 0 + \frac{1}{k^2} [\cos(2k) - \cos(0)]\] \[= \frac{1}{k^2} [\cos(n\pi) - 1] = \frac{1}{k^2} [(-1)^n - 1]\] Теперь собираем все части для \(a_n\): \[a_n = - \frac{1}{k} \left[ -\frac{1}{k} (11 (-1)^n + 1) + \frac{6}{k} \left( \frac{1}{k^2} ((-1)^n - 1) \right) \right]\] \[a_n = \frac{1}{k^2} (11 (-1)^n + 1) - \frac{6}{k^4} ((-1)^n - 1)\] Подставим \(k = \frac{n\pi}{2}\), то есть \(k^2 = \frac{n^2\pi^2}{4}\) и \(k^4 = \frac{n^4\pi^4}{16}\). \[a_n = \frac{4}{n^2\pi^2} (11 (-1)^n + 1) - \frac{96}{n^4\pi^4} ((-1)^n - 1)\] Если \(n\) четное, то \(n=2m\), \((-1)^n = 1\). \[a_n = \frac{4}{n^2\pi^2} (11 \cdot 1 + 1) - \frac{96}{n^4\pi^4} (1 - 1) = \frac{4}{n^2\pi^2} (12) - 0 = \frac{48}{n^2\pi^2}\] Если \(n\) нечетное, то \(n=2m-1\), \((-1)^n = -1\). \[a_n = \frac{4}{n^2\pi^2} (11 \cdot (-1) + 1) - \frac{96}{n^4\pi^4} (-1 - 1)\] \[a_n = \frac{4}{n^2\pi^2} (-10) - \frac{96}{n^4\pi^4} (-2) = -\frac{40}{n^2\pi^2} + \frac{192}{n^4\pi^4}\] Таким образом, ряд Фурье по косинусам: \[f(t) = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{4}{n^2\pi^2} (11 (-1)^n + 1) - \frac{96}{n^4\pi^4} ((-1)^n - 1) \right) \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\] 2. Разложение в ряд Фурье по синусам (нечетное продолжение). Если мы продолжаем функцию нечетным образом, то ее разложение в ряд Фурье будет содержать только синусы. Формула для ряда Фурье по синусам: \[f(t) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\left(\frac{n\pi t}{L}\right)\] где коэффициенты \(b_n\) вычисляются по формуле: \[b_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(t) \sin\left(\frac{n\pi t}{L}\right) dt\] В нашем случае \(L = 2\), поэтому: \[b_n = \frac{2}{2} \int_0^2 (t^3 - t) \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt = \int_0^2 (t^3 - t) \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt\] Снова обозначим \(k = \frac{n\pi}{2}\). \[b_n = \int_0^2 (t^3 - t) \sin(kt) dt\] Интегрируем по частям. Пусть \(u = t^3 - t\), тогда \(du = (3t^2 - 1) dt\). Пусть \(dv = \sin(kt) dt\), тогда \(v = -\frac{1}{k} \cos(kt)\). \[\int (t^3 - t) \sin(kt) dt = (t^3 - t) \left(-\frac{1}{k} \cos(kt)\right) \Big|_0^2 - \int_0^2 \left(-\frac{1}{k} \cos(kt)\right) (3t^2 - 1) dt\] \[= -\frac{1}{k} (t^3 - t) \cos(kt) \Big|_0^2 + \frac{1}{k} \int_0^2 (3t^2 - 1) \cos(kt) dt\] Подставим пределы для первого члена: \[-\frac{1}{k} \left[ (2^3 - 2) \cos(2k) - (0^3 - 0) \cos(0) \right]\] \[= -\frac{1}{k} \left[ (8 - 2) \cos(n\pi) - 0 \right] = -\frac{6}{k} (-1)^n\] Теперь нужно вычислить \(\int_0^2 (3t^2 - 1) \cos(kt) dt\). Снова интегрируем по частям. Пусть \(u = 3t^2 - 1\), тогда \(du = 6t dt\). Пусть \(dv = \cos(kt) dt\), тогда \(v = \frac{1}{k} \sin(kt)\). \[\int_0^2 (3t^2 - 1) \cos(kt) dt = (3t^2 - 1) \frac{1}{k} \sin(kt) \Big|_0^2 - \int_0^2 \frac{1}{k} \sin(kt) 6t dt\] \[= \frac{1}{k} (3t^2 - 1) \sin(kt) \Big|_0^2 - \frac{6}{k} \int_0^2 t \sin(kt) dt\] Подставим пределы для первого члена: \[\frac{1}{k} \left[ (3 \cdot 2^2 - 1) \sin(2k) - (3 \cdot 0^2 - 1) \sin(0) \right]\] \[= \frac{1}{k} \left[ (12 - 1) \sin(n\pi) - 0 \right] = \frac{11}{k} \cdot 0 = 0\] Значит, этот член равен 0. Остается вычислить \(\int_0^2 t \sin(kt) dt\). Снова интегрируем по частям. Пусть \(u = t\), тогда \(du = dt\). Пусть \(dv = \sin(kt) dt\), тогда \(v = -\frac{1}{k} \cos(kt)\). \[\int_0^2 t \sin(kt) dt = t \left(-\frac{1}{k} \cos(kt)\right) \Big|_0^2 - \int_0^2 \left(-\frac{1}{k} \cos(kt)\right) dt\] \[= -\frac{1}{k} [t \cos(kt)]_0^2 + \frac{1}{k} \int_0^2 \cos(kt) dt\] \[= -\frac{1}{k} [2 \cos(2k) - 0] + \frac{1}{k} \left[\frac{1}{k} \sin(kt)\right]_0^2\] \[= -\frac{2}{k} \cos(n\pi) + \frac{1}{k^2} [\sin(kt)]_0^2\] \[= -\frac{2}{k} (-1)^n + \frac{1}{k^2} [\sin(2k) - \sin(0)]\] \[= -\frac{2}{k} (-1)^n + \frac{1}{k^2} [0 - 0] = -\frac{2}{k} (-1)^n\] Теперь собираем все части для \(b_n\): \[b_n = -\frac{6}{k} (-1)^n + \frac{1}{k} \left[ 0 - \frac{6}{k} \left(-\frac{2}{k} (-1)^n\right) \right]\] \[b_n = -\frac{6}{k} (-1)^n + \frac{12}{k^3} (-1)^n\] \[b_n = (-1)^n \left( -\frac{6}{k} + \frac{12}{k^3} \right)\] Подставим \(k = \frac{n\pi}{2}\), то есть \(k^3 = \frac{n^3\pi^3}{8}\). \[b_n = (-1)^n \left( -\frac{6}{\frac{n\pi}{2}} + \frac{12}{\frac{n^3\pi^3}{8}} \right)\] \[b_n = (-1)^n \left( -\frac{12}{n\pi} + \frac{96}{n^3\pi^3} \right)\] \[b_n = (-1)^n \frac{12}{n\pi} \left( -1 + \frac{8}{n^2\pi^2} \right)\] Таким образом, ряд Фурье по синусам: \[f(t) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \left( -\frac{12}{n\pi} + \frac{96}{n^3\pi^3} \right) \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\] Ответ: 1. Разложение в ряд Фурье по косинусам (четное продолжение): \[f(t) = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{4}{n^2\pi^2} (11 (-1)^n + 1) - \frac{96}{n^4\pi^4} ((-1)^n - 1) \right) \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\] где коэффициенты \(a_n\) можно записать отдельно для четных и нечетных \(n\): Если \(n\) четное: \(a_n = \frac{48}{n^2\pi^2}\) Если \(n\) нечетное: \(a_n = -\frac{40}{n^2\pi^2} + \frac{192}{n^4\pi^4}\) 2. Разложение в ряд Фурье по синусам (нечетное продолжение): \[f(t) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \left( -\frac{12}{n\pi} + \frac{96}{n^3\pi^3} \right) \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\]