Решение задачи: Разложение функции f(t) = t^3 - t в ряд Фурье

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. Задание 2. Продолжая функцию \(f(t)\) четным и/или нечетным образом, разложить ее в ряд Фурье по косинусам и/или синусам крат-ных дуг. 10) \(f(t) = t^3 - t\), если \(0 \le t \le 2\). --- Решение: Нам дана функция \(f(t) = t^3 - t\) на интервале \(0 \le t \le 2\). Требуется разложить ее в ряд Фурье по косинусам и по синусам.

Разложение в ряд Фурье по косинусам (четное продолжение)

Для разложения в ряд Фурье по косинусам мы продолжаем функцию четным образом на интервал \([-2, 2]\). Период функции \(T = 2L\), где \(L = 2\). Значит, \(T = 4\). Ряд Фурье по косинусам имеет вид: \[f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos\left(\frac{n\pi t}{L}\right)\] где \(L = 2\). Коэффициенты \(a_0\) и \(a_n\) вычисляются по формулам: \[a_0 = \frac{2}{L} \int_0^L f(t) dt\] \[a_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(t) \cos\left(\frac{n\pi t}{L}\right) dt\] Вычислим \(a_0\): \[a_0 = \frac{2}{2} \int_0^2 (t^3 - t) dt = \left[\frac{t^4}{4} - \frac{t^2}{2}\right]_0^2\] \[a_0 = \left(\frac{2^4}{4} - \frac{2^2}{2}\right) - \left(\frac{0^4}{4} - \frac{0^2}{2}\right) = \left(\frac{16}{4} - \frac{4}{2}\right) - 0 = (4 - 2) = 2\] Вычислим \(a_n\): \[a_n = \frac{2}{2} \int_0^2 (t^3 - t) \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt = \int_0^2 (t^3 - t) \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt\] Для вычисления этого интеграла будем использовать интегрирование по частям. Формула интегрирования по частям: \(\int u dv = uv - \int v du\). Это довольно сложный интеграл, требующий многократного применения интегрирования по частям. Пусть \(u = t^3 - t\), тогда \(du = (3t^2 - 1) dt\). Пусть \(dv = \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt\), тогда \(v = \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\). \[\int (t^3 - t) \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt = (t^3 - t) \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) \Big|_0^2 - \int_0^2 \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) (3t^2 - 1) dt\] Подставим пределы для первого члена: При \(t=2\): \((2^3 - 2) \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi \cdot 2}{2}\right) = (8 - 2) \frac{2}{n\pi} \sin(n\pi) = 6 \frac{2}{n\pi} \cdot 0 = 0\) При \(t=0\): \((0^3 - 0) \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi \cdot 0}{2}\right) = 0 \cdot \frac{2}{n\pi} \cdot 0 = 0\) Таким образом, первый член равен 0. Остается: \[a_n = - \frac{2}{n\pi} \int_0^2 (3t^2 - 1) \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt\] Применим интегрирование по частям еще раз. Пусть \(u = 3t^2 - 1\), тогда \(du = 6t dt\). Пусть \(dv = \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt\), тогда \(v = -\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\). \[\int (3t^2 - 1) \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt = (3t^2 - 1) \left(-\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\right) \Big|_0^2 - \int_0^2 \left(-\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\right) 6t dt\] Подставим пределы для первого члена: При \(t=2\): \((3 \cdot 2^2 - 1) \left(-\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi \cdot 2}{2}\right)\right) = (12 - 1) \left(-\frac{2}{n\pi} \cos(n\pi)\right) = 11 \left(-\frac{2}{n\pi} (-1)^n\right) = -\frac{22}{n\pi} (-1)^n\) При \(t=0\): \((3 \cdot 0^2 - 1) \left(-\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi \cdot 0}{2}\right)\right) = (-1) \left(-\frac{2}{n\pi} \cos(0)\right) = (-1) \left(-\frac{2}{n\pi} \cdot 1\right) = \frac{2}{n\pi}\) Значит, первый член равен \(-\frac{22}{n\pi} (-1)^n - \frac{2}{n\pi}\). Продолжаем: \[a_n = - \frac{2}{n\pi} \left[ -\frac{22}{n\pi} (-1)^n - \frac{2}{n\pi} + \frac{12}{n\pi} \int_0^2 t \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt \right]\] \[a_n = \frac{44}{(n\pi)^2} (-1)^n + \frac{4}{(n\pi)^2} - \frac{24}{(n\pi)^2} \int_0^2 t \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt\] Вычислим последний интеграл: \(\int_0^2 t \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt\). Пусть \(u = t\), тогда \(du = dt\). Пусть \(dv = \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt\), тогда \(v = \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\). \[\int_0^2 t \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt = t \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) \Big|_0^2 - \int_0^2 \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt\] Подставим пределы для первого члена: При \(t=2\): \(2 \frac{2}{n\pi} \sin(n\pi) = 0\) При \(t=0\): \(0 \frac{2}{n\pi} \sin(0) = 0\) Первый член равен 0. Остается: \[- \frac{2}{n\pi} \int_0^2 \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt = - \frac{2}{n\pi} \left[ -\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right) \right]_0^2\] \[= \frac{4}{(n\pi)^2} \left[ \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right) \right]_0^2 = \frac{4}{(n\pi)^2} \left( \cos(n\pi) - \cos(0) \right)\] \[= \frac{4}{(n\pi)^2} ((-1)^n - 1)\] Теперь подставим это обратно в выражение для \(a_n\): \[a_n = \frac{44}{(n\pi)^2} (-1)^n + \frac{4}{(n\pi)^2} - \frac{24}{(n\pi)^2} \left( \frac{4}{(n\pi)^2} ((-1)^n - 1) \right)\] \[a_n = \frac{44}{(n\pi)^2} (-1)^n + \frac{4}{(n\pi)^2} - \frac{96}{(n\pi)^4} ((-1)^n - 1)\] Это и есть коэффициенты \(a_n\). Ряд Фурье по косинусам: \[f(t) = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{44}{(n\pi)^2} (-1)^n + \frac{4}{(n\pi)^2} - \frac{96}{(n\pi)^4} ((-1)^n - 1) \right) \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\]

Разложение в ряд Фурье по синусам (нечетное продолжение)

Для разложения в ряд Фурье по синусам мы продолжаем функцию нечетным образом на интервал \([-2, 2]\). Период функции \(T = 2L\), где \(L = 2\). Значит, \(T = 4\). Ряд Фурье по синусам имеет вид: \[f(t) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\left(\frac{n\pi t}{L}\right)\] где \(L = 2\). Коэффициенты \(b_n\) вычисляются по формуле: \[b_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(t) \sin\left(\frac{n\pi t}{L}\right) dt\] Вычислим \(b_n\): \[b_n = \frac{2}{2} \int_0^2 (t^3 - t) \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt = \int_0^2 (t^3 - t) \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt\] Снова используем интегрирование по частям. Пусть \(u = t^3 - t\), тогда \(du = (3t^2 - 1) dt\). Пусть \(dv = \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt\), тогда \(v = -\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\). \[\int (t^3 - t) \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt = (t^3 - t) \left(-\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\right) \Big|_0^2 - \int_0^2 \left(-\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\right) (3t^2 - 1) dt\] Подставим пределы для первого члена: При \(t=2\): \((2^3 - 2) \left(-\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi \cdot 2}{2}\right)\right) = (8 - 2) \left(-\frac{2}{n\pi} \cos(n\pi)\right) = 6 \left(-\frac{2}{n\pi} (-1)^n\right) = -\frac{12}{n\pi} (-1)^n\) При \(t=0\): \((0^3 - 0) \left(-\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi \cdot 0}{2}\right)\right) = 0 \cdot \left(-\frac{2}{n\pi} \cdot 1\right) = 0\) Таким образом, первый член равен \(-\frac{12}{n\pi} (-1)^n\). Остается: \[b_n = -\frac{12}{n\pi} (-1)^n + \frac{2}{n\pi} \int_0^2 (3t^2 - 1) \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt\] Применим интегрирование по частям еще раз. Пусть \(u = 3t^2 - 1\), тогда \(du = 6t dt\). Пусть \(dv = \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt\), тогда \(v = \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\). \[\int (3t^2 - 1) \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt = (3t^2 - 1) \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) \Big|_0^2 - \int_0^2 \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) 6t dt\] Подставим пределы для первого члена: При \(t=2\): \((3 \cdot 2^2 - 1) \frac{2}{n\pi} \sin(n\pi) = 11 \frac{2}{n\pi} \cdot 0 = 0\) При \(t=0\): \((3 \cdot 0^2 - 1) \frac{2}{n\pi} \sin(0) = (-1) \frac{2}{n\pi} \cdot 0 = 0\) Первый член равен 0. Остается: \[- \frac{12}{n\pi} \int_0^2 t \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt\] Теперь подставим это обратно в выражение для \(b_n\): \[b_n = -\frac{12}{n\pi} (-1)^n + \frac{2}{n\pi} \left[ - \frac{12}{n\pi} \int_0^2 t \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt \right]\] \[b_n = -\frac{12}{n\pi} (-1)^n - \frac{24}{(n\pi)^2} \int_0^2 t \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt\] Вычислим последний интеграл: \(\int_0^2 t \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt\). Пусть \(u = t\), тогда \(du = dt\). Пусть \(dv = \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt\), тогда \(v = -\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\). \[\int_0^2 t \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt = t \left(-\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\right) \Big|_0^2 - \int_0^2 \left(-\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\right) dt\] Подставим пределы для первого члена: При \(t=2\): \(2 \left(-\frac{2}{n\pi} \cos(n\pi)\right) = -\frac{4}{n\pi} (-1)^n\) При \(t=0\): \(0 \left(-\frac{2}{n\pi} \cos(0)\right) = 0\) Первый член равен \(-\frac{4}{n\pi} (-1)^n\). Остается: \[-\frac{4}{n\pi} (-1)^n + \frac{2}{n\pi} \int_0^2 \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right) dt\] \[= -\frac{4}{n\pi} (-1)^n + \frac{2}{n\pi} \left[ \frac{2}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) \right]_0^2\] \[= -\frac{4}{n\pi} (-1)^n + \frac{4}{(n\pi)^2} \left( \sin(n\pi) - \sin(0) \right)\] \[= -\frac{4}{n\pi} (-1)^n + \frac{4}{(n\pi)^2} (0 - 0) = -\frac{4}{n\pi} (-1)^n\] Теперь подставим это обратно в выражение для \(b_n\): \[b_n = -\frac{12}{n\pi} (-1)^n - \frac{24}{(n\pi)^2} \left( -\frac{4}{n\pi} (-1)^n \right)\] \[b_n = -\frac{12}{n\pi} (-1)^n + \frac{96}{(n\pi)^3} (-1)^n\] \[b_n = (-1)^n \left( \frac{96}{(n\pi)^3} - \frac{12}{n\pi} \right)\] Это и есть коэффициенты \(b_n\). Ряд Фурье по синусам: \[f(t) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \left( \frac{96}{(n\pi)^3} - \frac{12}{n\pi} \right) \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\] ---

Итог:

1. Разложение в ряд Фурье по косинусам: \[f(t) = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{44}{(n\pi)^2} (-1)^n + \frac{4}{(n\pi)^2} - \frac{96}{(n\pi)^4} ((-1)^n - 1) \right) \cos\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\] 2. Разложение в ряд Фурье по синусам: \[f(t) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \left( \frac{96}{(n\pi)^3} - \frac{12}{n\pi} \right) \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right)\]