Задача 699. Представьте в виде многочлена выражение:
а) \((x^2 + xy - y^2)(x + y)\)
Решение:
Чтобы представить выражение в виде многочлена, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена, а затем привести подобные слагаемые.
\[(x^2 + xy - y^2)(x + y) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot y + xy \cdot x + xy \cdot y - y^2 \cdot x - y^2 \cdot y\] \[= x^3 + x^2y + x^2y + xy^2 - xy^2 - y^3\]Приводим подобные слагаемые:
\[= x^3 + (x^2y + x^2y) + (xy^2 - xy^2) - y^3\] \[= x^3 + 2x^2y + 0 - y^3\] \[= x^3 + 2x^2y - y^3\]Ответ: \(x^3 + 2x^2y - y^3\)
б) \((n^2 - np + p^2)(n - p)\)
Решение:
\[(n^2 - np + p^2)(n - p) = n^2 \cdot n - n^2 \cdot p - np \cdot n + np \cdot p + p^2 \cdot n - p^2 \cdot p\] \[= n^3 - n^2p - n^2p + np^2 + np^2 - p^3\]Приводим подобные слагаемые:
\[= n^3 + (-n^2p - n^2p) + (np^2 + np^2) - p^3\] \[= n^3 - 2n^2p + 2np^2 - p^3\]Ответ: \(n^3 - 2n^2p + 2np^2 - p^3\)
в) \((a + x)(a^2 - ax - x^2)\)
Решение:
\[(a + x)(a^2 - ax - x^2) = a \cdot a^2 - a \cdot ax - a \cdot x^2 + x \cdot a^2 - x \cdot ax - x \cdot x^2\] \[= a^3 - a^2x - ax^2 + a^2x - ax^2 - x^3\]Приводим подобные слагаемые:
\[= a^3 + (-a^2x + a^2x) + (-ax^2 - ax^2) - x^3\] \[= a^3 + 0 - 2ax^2 - x^3\] \[= a^3 - 2ax^2 - x^3\]Ответ: \(a^3 - 2ax^2 - x^3\)
г) \((b - c)(b^2 - bc - c^2)\)
Решение:
\[(b - c)(b^2 - bc - c^2) = b \cdot b^2 - b \cdot bc - b \cdot c^2 - c \cdot b^2 + c \cdot bc + c \cdot c^2\] \[= b^3 - b^2c - bc^2 - b^2c + bc^2 + c^3\]Приводим подобные слагаемые:
\[= b^3 + (-b^2c - b^2c) + (-bc^2 + bc^2) + c^3\] \[= b^3 - 2b^2c + 0 + c^3\] \[= b^3 - 2b^2c + c^3\]Ответ: \(b^3 - 2b^2c + c^3\)
д) \((a^2 - 2a + 3)(a - 4)\)
Решение:
\[(a^2 - 2a + 3)(a - 4) = a^2 \cdot a - a^2 \cdot 4 - 2a \cdot a + 2a \cdot 4 + 3 \cdot a - 3 \cdot 4\] \[= a^3 - 4a^2 - 2a^2 + 8a + 3a - 12\]Приводим подобные слагаемые:
\[= a^3 + (-4a^2 - 2a^2) + (8a + 3a) - 12\] \[= a^3 - 6a^2 + 11a - 12\]Ответ: \(a^3 - 6a^2 + 11a - 12\)
е) \((5x - 2)(x^2 - x - 1)\)
Решение:
\[(5x - 2)(x^2 - x - 1) = 5x \cdot x^2 - 5x \cdot x - 5x \cdot 1 - 2 \cdot x^2 + 2 \cdot x + 2 \cdot 1\] \[= 5x^3 - 5x^2 - 5x - 2x^2 + 2x + 2\]Приводим подобные слагаемые:
\[= 5x^3 + (-5x^2 - 2x^2) + (-5x + 2x) + 2\] \[= 5x^3 - 7x^2 - 3x + 2\]Ответ: \(5x^3 - 7x^2 - 3x + 2\)
ж) \((2 - 2x + x^2)(x + 5)\)
Решение:
Для удобства можно переписать первый многочлен в порядке убывания степеней:
\[(x^2 - 2x + 2)(x + 5) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot 5 - 2x \cdot x - 2x \cdot 5 + 2 \cdot x + 2 \cdot 5\] \[= x^3 + 5x^2 - 2x^2 - 10x + 2x + 10\]Приводим подобные слагаемые:
\[= x^3 + (5x^2 - 2x^2) + (-10x + 2x) + 10\] \[= x^3 + 3x^2 - 8x + 10\]Ответ: \(x^3 + 3x^2 - 8x + 10\)
з) \((3y - 4)(y^2 - y + 1)\)
Решение:
\[(3y - 4)(y^2 - y + 1) = 3y \cdot y^2 - 3y \cdot y + 3y \cdot 1 - 4 \cdot y^2 + 4 \cdot y - 4 \cdot 1\] \[= 3y^3 - 3y^2 + 3y - 4y^2 + 4y - 4\]Приводим подобные слагаемые:
\[= 3y^3 + (-3y^2 - 4y^2) + (3y + 4y) - 4\] \[= 3y^3 - 7y^2 + 7y - 4\]Ответ: \(3y^3 - 7y^2 + 7y - 4\)