Решение: Доказать сходимость ряда ∑(3^n + 5^n)/15^n

Задача: Доказать сходимость ряда и найти его сумму. \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n + 5^n}{15^n} \] Решение: 1. Разложим общий член ряда на сумму двух дробей: \[ a_n = \frac{3^n + 5^n}{15^n} = \frac{3^n}{15^n} + \frac{5^n}{15^n} \] 2. Упростим полученные дроби: \[ a_n = \left( \frac{3}{15} \right)^n + \left( \frac{5}{15} \right)^n = \left( \frac{1}{5} \right)^n + \left( \frac{1}{3} \right)^n \] 3. Таким образом, наш ряд можно представить как сумму двух бесконечно убывающих геометрических прогрессий: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n + 5^n}{15^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{5} \right)^n + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{3} \right)^n \] 4. Докажем сходимость. Каждая из этих прогрессий имеет вид \( \sum_{n=1}^{\infty} b \cdot q^{n-1} \) или \( \sum_{n=1}^{\infty} q^n \). Для первой прогрессии \( q_1 = \frac{1}{5} \). Так как \( |q_1| < 1 \), ряд сходится. Для второй прогрессии \( q_2 = \frac{1}{3} \). Так как \( |q_2| < 1 \), ряд также сходится. Сумма двух сходящихся рядов есть ряд сходящийся. 5. Найдем сумму каждой прогрессии по формуле \( S = \frac{b_1}{1 - q} \), где \( b_1 \) — первый член ряда (при \( n=1 \)). Для первого ряда: \[ b_1 = \frac{1}{5}, \quad q_1 = \frac{1}{5} \] \[ S_1 = \frac{1/5}{1 - 1/5} = \frac{1/5}{4/5} = \frac{1}{4} \] Для второго ряда: \[ b_1 = \frac{1}{3}, \quad q_2 = \frac{1}{3} \] \[ S_2 = \frac{1/3}{1 - 1/3} = \frac{1/3}{2/3} = \frac{1}{2} \] 6. Найдем общую сумму ряда: \[ S = S_1 + S_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4} = 0,75 \] Ответ: ряд сходится, его сумма равна 0,75.