Исследование сходимости ряда ∑(1/(5n-2)ln(5n-2))

Задача 4. Исследовать на сходимость ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(5n-2) \ln(5n-2)} \] Решение: Для исследования данного ряда на сходимость воспользуемся интегральным признаком Коши. Рассмотрим функцию: \[ f(x) = \frac{1}{(5x-2) \ln(5x-2)} \] Данная функция является непрерывной, положительной и монотонно убывающей на промежутке \( [1; +\infty) \). Следовательно, ряд и несобственный интеграл ведут себя одинаково (оба сходятся или оба расходятся). Вычислим несобственный интеграл: \[ I = \int_{1}^{\infty} \frac{1}{(5x-2) \ln(5x-2)} dx \] Для решения воспользуемся методом замены переменной. Пусть \( u = \ln(5x-2) \). Тогда найдем дифференциал \( du \): \[ du = (\ln(5x-2))' dx = \frac{1}{5x-2} \cdot 5 dx = \frac{5}{5x-2} dx \] Отсюда: \[ \frac{dx}{5x-2} = \frac{du}{5} \] Найдем новые пределы интегрирования: Если \( x = 1 \), то \( u = \ln(5 \cdot 1 - 2) = \ln 3 \). Если \( x \to \infty \), то \( u \to \infty \). Перепишем интеграл: \[ I = \int_{\ln 3}^{\infty} \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{5} = \frac{1}{5} \int_{\ln 3}^{\infty} \frac{du}{u} \] Вычисляем первообразную: \[ I = \frac{1}{5} \lim_{A \to \infty} [ \ln|u| ]_{\ln 3}^{A} = \frac{1}{5} \lim_{A \to \infty} (\ln A - \ln(\ln 3)) \] Так как \( \lim_{A \to \infty} \ln A = \infty \), то интеграл расходится: \[ I = \infty \] Согласно интегральному признаку Коши, так как интеграл расходится, то и исходный числовой ряд также расходится. Ответ: ряд расходится.