Решение контрольной работы №2 по геометрии. Вариант 1

Контрольная работа №2 по геометрии Вариант 1 Задача 1 Дано: \(a = 5\) см — сторона треугольника. \(h = 3 \cdot a\) — высота, проведенная к этой стороне. Найти: \(S\) — площадь треугольника. Решение: 1) Найдем высоту треугольника: \[h = 3 \cdot 5 = 15 \text{ (см)}\] 2) Вычислим площадь по формуле \(S = \frac{1}{2} a h\): \[S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 15 = \frac{75}{2} = 37,5 \text{ (см}^2\text{)}\] Ответ: 37,5 \(см^2\). Задача 2 Дано: \(a = 6\) см, \(b = 8\) см — катеты прямоугольного треугольника. Найти: \(c\) — гипотенузу, \(S\) — площадь. Решение: 1) По теореме Пифагора \(c^2 = a^2 + b^2\): \[c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ (см)}\] 2) Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: \[S = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ (см}^2\text{)}\] Ответ: гипотенуза 10 см, площадь 24 \(см^2\). Задача 3 Дано: \(P = 124\) см — периметр ромба. \(S = 155\) \(см^2\) — площадь ромба. Найти: \(h\) — высоту ромба. Решение: 1) У ромба все стороны равны, поэтому сторона \(a\) равна: \[a = \frac{P}{4} = \frac{124}{4} = 31 \text{ (см)}\] 2) Площадь ромба вычисляется по формуле \(S = a \cdot h\). Отсюда высота: \[h = \frac{S}{a} = \frac{155}{31} = 5 \text{ (см)}\] Ответ: 5 см. Задача 4 Дано: Равнобедренная трапеция. \(\angle = 135^\circ\) — тупой угол. \(b = 9\) см — меньшее основание. \(h\) — высота, \(a\) — большее основание. По условию: \(h = \frac{1}{3} a\). Найти: \(S\) — площадь трапеции. Решение: 1) В равнобедренной трапеции острый угол при основании равен \(180^\circ - 135^\circ = 45^\circ\). 2) Проведем высоту из вершины тупого угла. Образуется прямоугольный треугольник, где один угол \(45^\circ\), значит, он равнобедренный. Отрезок на большем основании (проекция боковой стороны) равен высоте \(h\). 3) Большее основание \(a = b + 2h\). Подставим значения: \[a = 9 + 2h\] 4) По условию \(a = 3h\). Приравняем: \[3h = 9 + 2h\] \[h = 9 \text{ (см)}\] 5) Найдем большее основание: \[a = 3 \cdot 9 = 27 \text{ (см)}\] 6) Вычислим площадь: \[S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{27 + 9}{2} \cdot 9 = \frac{36}{2} \cdot 9 = 18 \cdot 9 = 162 \text{ (см}^2\text{)}\] Ответ: 162 \(см^2\).