Решение задачи по теоретической механике. Вариант №2

Для решения задачи по теоретической механике (раздел "Динамика относительного движения") воспользуемся данными из таблицы для варианта №2 и соответствующим рисунком. Дано: \(m = 0,02\) кг — масса точки \(M\); \(\omega = \pi\) рад/с — угловая скорость вращения плоскости; \(x_0 = 0\) м — начальное положение точки; \(\dot{x}_0 = 0,2\) м/с — начальная относительная скорость; \(t_1 = 0,4\) с — момент времени; \(f = 0\) — коэффициент трения (поверхность гладкая); \(h\) — расстояние от оси вращения до трубки (согласно рисунку 2, точка движется в трубке, расположенной на расстоянии \(h\), но для варианта 2 значение \(h\) в таблице не указано, следовательно, считаем, что трубка проходит через ось или \(h=0\), если не задано иное). Найти: Закон относительного движения точки \(x(t)\) и значение \(x\) в момент \(t_1\). Решение: 1. Составим дифференциальное уравнение относительного движения материальной точки \(M\) в проекции на ось \(x\). На точку действуют: сила тяжести, реакция стенок трубки и переносная сила инерции. Уравнение имеет вид: \[ m\ddot{x} = \sum F_{ix} + \Phi_{ex} \] Так как трения нет (\(f=0\)) и трубка горизонтальна (согласно схеме 2), проекции активных сил на ось \(x\) равны нулю. Переносная сила инерции \( \Phi_e = m \omega^2 \rho \), где \(\rho\) — расстояние до оси вращения. Из геометрии рисунка \(\rho = \sqrt{x^2 + h^2}\). Проекция этой силы на ось \(x\): \[ \Phi_{ex} = m \omega^2 x \] 2. Дифференциальное уравнение примет вид: \[ m\ddot{x} = m \omega^2 x \] Разделим на \(m\): \[ \ddot{x} - \omega^2 x = 0 \] 3. Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Его характеристическое уравнение: \[ k^2 - \omega^2 = 0 \Rightarrow k_{1,2} = \pm \omega \] Общее решение уравнения: \[ x(t) = C_1 e^{\omega t} + C_2 e^{-\omega t} \] 4. Найдем константы \(C_1\) и \(C_2\), используя начальные условия: При \(t = 0\): \(x(0) = C_1 + C_2 = x_0 = 0\) \(\dot{x}(0) = \omega C_1 - \omega C_2 = \dot{x}_0 = 0,2\) Из первого уравнения \(C_2 = -C_1\). Подставим во второе: \[ \omega C_1 - \omega (-C_1) = 0,2 \] \[ 2 \omega C_1 = 0,2 \Rightarrow C_1 = \frac{0,1}{\omega}, \quad C_2 = -\frac{0,1}{\omega} \] 5. Запишем закон движения: \[ x(t) = \frac{0,1}{\omega} (e^{\omega t} - e^{-\omega t}) \] Вспоминая определение гиперболического синуса \( \sinh(\omega t) = \frac{e^{\omega t} - e^{-\omega t}}{2} \), можно записать: \[ x(t) = \frac{0,2}{\omega} \sinh(\omega t) \] 6. Вычислим значение \(x\) в момент \(t_1 = 0,4\) с, подставив \(\omega = \pi \approx 3,14\): \[ x(0,4) = \frac{0,2}{\pi} \sinh(\pi \cdot 0,4) \] \[ \pi \cdot 0,4 \approx 1,256 \] \[ \sinh(1,256) = \frac{e^{1,256} - e^{-1,256}}{2} \approx \frac{3,511 - 0,285}{2} \approx 1,613 \] \[ x(0,4) \approx \frac{0,2}{3,14} \cdot 1,613 \approx 0,0637 \cdot 1,613 \approx 0,1027 \text{ м} \] Ответ: Закон движения: \( x(t) = \frac{0,2}{\pi} \sinh(\pi t) \) м. В момент \(t_1 = 0,4\) с: \( x \approx 0,103 \) м.