Решение задач по алгебре: примеры с объяснениями

Вот решение задач, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. 1. Найти значение выражения \[ \frac{x^3}{x-y} \text{ при } x = -4, y = 0,2 \] Решение: Подставим значения \(x\) и \(y\) в выражение: \[ \frac{(-4)^3}{-4 - 0,2} = \frac{-64}{-4,2} \] Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10: \[ \frac{-64 \cdot 10}{-4,2 \cdot 10} = \frac{-640}{-42} \] Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: \[ \frac{-640 \div 2}{-42 \div 2} = \frac{-320}{-21} = \frac{320}{21} \] Выделим целую часть: \[ 320 \div 21 = 15 \text{ с остатком } 5 \] Значит, \[ \frac{320}{21} = 15\frac{5}{21} \] Ответ: \(15\frac{5}{21}\) 2. Сократите дробь \[ \frac{4ab^4}{16ab^2} \] Решение: Разделим числитель и знаменатель на общие множители. Числовые коэффициенты: \(4 \div 4 = 1\), \(16 \div 4 = 4\). Переменная \(a\): \(a \div a = 1\). Переменная \(b\): \(b^4 \div b^2 = b^{4-2} = b^2\). \[ \frac{4ab^4}{16ab^2} = \frac{4 \cdot a \cdot b^4}{4 \cdot 4 \cdot a \cdot b^2} = \frac{b^2}{4} \] Ответ: \(\frac{b^2}{4}\) 3. Выполните действия \[ \frac{c-3}{c^2-9} - \frac{13}{4} \] Решение: Сначала упростим первую дробь. Заметим, что \(c^2-9\) это разность квадратов, которую можно разложить как \((c-3)(c+3)\). \[ \frac{c-3}{(c-3)(c+3)} - \frac{13}{4} \] Сократим \((c-3)\) в первой дроби (при условии, что \(c \neq 3\)): \[ \frac{1}{c+3} - \frac{13}{4} \] Приведем дроби к общему знаменателю, который равен \(4(c+3)\): \[ \frac{1 \cdot 4}{4(c+3)} - \frac{13 \cdot (c+3)}{4(c+3)} = \frac{4 - 13(c+3)}{4(c+3)} \] Раскроем скобки в числителе: \[ \frac{4 - 13c - 13 \cdot 3}{4(c+3)} = \frac{4 - 13c - 39}{4(c+3)} \] Выполним вычитание в числителе: \[ \frac{-13c - 35}{4(c+3)} \] Ответ: \(\frac{-13c - 35}{4(c+3)}\) 4. Упростите выражение \[ \left(\frac{2m^2}{n^3}\right)^3 : \frac{2m^4}{n^5} \] Решение: Сначала возведем первую дробь в степень 3: \[ \left(\frac{2m^2}{n^3}\right)^3 = \frac{(2m^2)^3}{(n^3)^3} = \frac{2^3 \cdot (m^2)^3}{(n^3)^3} = \frac{8m^{2 \cdot 3}}{n^{3 \cdot 3}} = \frac{8m^6}{n^9} \] Теперь выполним деление дробей. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй: \[ \frac{8m^6}{n^9} : \frac{2m^4}{n^5} = \frac{8m^6}{n^9} \cdot \frac{n^5}{2m^4} \] Перемножим числители и знаменатели: \[ \frac{8m^6 \cdot n^5}{n^9 \cdot 2m^4} \] Сократим числовые коэффициенты: \(8 \div 2 = 4\). Сократим степени \(m\): \(m^6 \div m^4 = m^{6-4} = m^2\). Сократим степени \(n\): \(n^5 \div n^9 = n^{5-9} = n^{-4} = \frac{1}{n^4}\). \[ \frac{4m^2}{n^4} \] Ответ: \(\frac{4m^2}{n^4}\) 5. Представьте выражение \(c^{-2} \cdot c^{-7}\) в виде степени с основанием \(c\) и найдите его значение при \(c = \frac{1}{3}\). Решение: При умножении степеней с одинаковым основанием показатели степеней складываются: \[ c^{-2} \cdot c^{-7} = c^{-2 + (-7)} = c^{-2 - 7} = c^{-9} \] Теперь найдем значение этого выражения при \(c = \frac{1}{3}\): \[ \left(\frac{1}{3}\right)^{-9} \] Отрицательная степень означает, что нужно взять обратное число и возвести его в положительную степень: \[ \left(\frac{1}{3}\right)^{-9} = 3^9 \] Вычислим \(3^9\): \[ 3^1 = 3 \] \[ 3^2 = 9 \] \[ 3^3 = 27 \] \[ 3^4 = 81 \] \[ 3^5 = 243 \] \[ 3^6 = 729 \] \[ 3^7 = 2187 \] \[ 3^8 = 6561 \] \[ 3^9 = 19683 \] Ответ: \(c^{-9}\), значение \(19683\). 6. Упростите выражение \[ \left(a - \frac{a^2+2}{a-1}\right) \cdot \frac{1-2a+a^2}{a+} \] Вторая часть знаменателя второй дроби неразборчива. Предположим, что там \(a+1\). Если это не так, то решение будет отличаться. Предположим, что вторая дробь \(\frac{1-2a+a^2}{a+1}\). Решение: Сначала упростим выражение в скобках. Приведем \(a\) к общему знаменателю \((a-1)\): \[ a - \frac{a^2+2}{a-1} = \frac{a(a-1)}{a-1} - \frac{a^2+2}{a-1} = \frac{a^2-a - (a^2+2)}{a-1} \] Раскроем скобки в числителе: \[ \frac{a^2-a - a^2 - 2}{a-1} = \frac{-a-2}{a-1} \] Теперь упростим вторую дробь. Заметим, что \(1-2a+a^2\) это квадрат разности \((1-a)^2\). \[ \frac{1-2a+a^2}{a+1} = \frac{(1-a)^2}{a+1} \] Теперь умножим полученные выражения: \[ \frac{-a-2}{a-1} \cdot \frac{(1-a)^2}{a+1} \] Заметим, что \((1-a)^2 = (-(a-1))^2 = (a-1)^2\). Также \(-a-2 = -(a+2)\). \[ \frac{-(a+2)}{a-1} \cdot \frac{(a-1)^2}{a+1} \] Сократим \((a-1)\): \[ -(a+2) \cdot \frac{a-1}{a+1} = -\frac{(a+2)(a-1)}{a+1} \] Раскроем скобки в числителе: \[ -\frac{a^2 - a + 2a - 2}{a+1} = -\frac{a^2 + a - 2}{a+1} \] Ответ: \(-\frac{a^2 + a - 2}{a+1}\) (при условии, что знаменатель второй дроби был \(a+1\)). 7. Сократите дробь \[ \frac{\kappa^{-3} - \kappa^{-2} - \kappa^{-1}}{\kappa^{-5} - \kappa^{-4} - \kappa^{-3}} \] Решение: Вынесем наименьшую степень \(\kappa\) в числителе и знаменателе. В числителе наименьшая степень \(\kappa^{-3}\). \[ \kappa^{-3} - \kappa^{-2} - \kappa^{-1} = \kappa^{-3}(1 - \kappa^{-2 - (-3)} - \kappa^{-1 - (-3)}) = \kappa^{-3}(1 - \kappa^1 - \kappa^2) \] В знаменателе наименьшая степень \(\kappa^{-5}\). \[ \kappa^{-5} - \kappa^{-4} - \kappa^{-3} = \kappa^{-5}(1 - \kappa^{-4 - (-5)} - \kappa^{-3 - (-5)}) = \kappa^{-5}(1 - \kappa^1 - \kappa^2) \] Теперь подставим эти выражения обратно в дробь: \[ \frac{\kappa^{-3}(1 - \kappa - \kappa^2)}{\kappa^{-5}(1 - \kappa - \kappa^2)} \] Сократим общий множитель \((1 - \kappa - \kappa^2)\) (при условии, что он не равен нулю): \[ \frac{\kappa^{-3}}{\kappa^{-5}} \] При делении степеней с одинаковым основанием показатели степеней вычитаются: \[ \kappa^{-3 - (-5)} = \kappa^{-3 + 5} = \kappa^2 \] Ответ: \(\kappa^2\)