Решение задачи: Определение эквивалентного сопротивления цепи

Задача: Определить эквивалентное сопротивление цепи относительно входных зажимов, если \( R = 10 \) Ом. Решение: 1. Проанализируем схему. Мы видим сложную цепь, в центре которой находится соединение резисторов в виде треугольника. Чтобы упростить расчет, преобразуем внутренний "треугольник" в эквивалентную "звезду". 2. В нашем случае все резисторы в треугольнике равны \( R \). При преобразовании треугольника в звезду сопротивление каждого луча звезды \( R_{зв} \) вычисляется по формуле: \[ R_{зв} = \frac{R \cdot R}{R + R + R} = \frac{R^2}{3R} = \frac{R}{3} \] 3. После замены треугольника на звезду схема упрощается. Теперь у нас есть: - Один резистор \( R \) на входе (верхняя ветвь). - После него идет разветвление. В верхней части последовательно соединены один луч звезды \( R/3 \) и внешний резистор \( R \). В нижней части — аналогично: луч звезды \( R/3 \) и внешний резистор \( R \). - Третий луч звезды \( R/3 \) оказывается соединен последовательно с общим узлом. 4. Однако, если внимательно посмотреть на симметрию исходной схемы, можно заметить, что она представляет собой мостовую схему. Резисторы образуют сбалансированный мост, так как отношения плеч равны. Но проще всего рассчитать последовательно-параллельные участки после преобразования. 5. Рассчитаем сопротивление двух параллельных ветвей, которые образовались после преобразования треугольника: Каждая ветвь имеет сопротивление: \[ R_{ветви} = \frac{R}{3} + R = \frac{4R}{3} \] Так как эти две ветви соединены параллельно, их общее сопротивление \( R_{пар} \) будет: \[ R_{пар} = \frac{R_{ветви}}{2} = \frac{4R}{3 \cdot 2} = \frac{2R}{3} \] 6. Теперь сложим все последовательные участки основной цепи. К полученному \( R_{пар} \) добавим входной резистор \( R \) и оставшийся луч звезды \( R/3 \). Но заметим, что по условию зажимы находятся слева. Самый левый резистор \( R \) подключен параллельно всей остальной конструкции. 7. Рассчитаем сопротивление правой части (без самого первого левого резистора): \[ R_{правой\_части} = R + \frac{2R}{3} + \frac{R}{3} = R + R = 2R \] 8. Теперь учтем самый первый резистор \( R \), который стоит параллельно зажимам: \[ R_{экв} = \frac{R \cdot 2R}{R + 2R} = \frac{2R^2}{3R} = \frac{2}{3}R \] 9. Подставим значение \( R = 10 \) Ом: \[ R_{экв} = \frac{2 \cdot 10}{3} = \frac{20}{3} \approx 6,67 \text{ Ом} \] 10. Округлим результат до целых по условию задачи: \[ R_{экв} \approx 7 \text{ Ом} \] Ответ: 7 Ом.