Решение задач: Свойства равнобедренного треугольника

Ниже представлено подробное решение задач по теме Свойства равнобедренного треугольника для 1 варианта. Задача 1 (верхний левый рисунок) Дано: Треугольник равнобедренный (боковые стороны равны), угол при основании равен \(70^{\circ}\). Найти: Второй угол при основании. Решение: По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны. Следовательно, искомый угол равен \(70^{\circ}\). Ответ: \(70^{\circ}\). Задача 2 (верхний средний рисунок) Дано: Треугольник равнобедренный, угол при вершине равен \(50^{\circ}\). Найти: Угол при основании. Решение: Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\). Углы при основании равны. Пусть угол при основании равен \(x\). \[x = (180^{\circ} - 50^{\circ}) : 2\] \[x = 130^{\circ} : 2 = 65^{\circ}\] Ответ: \(65^{\circ}\). Задача 3 (верхний правый рисунок) Дано: Треугольник равнобедренный, периметр \(P = 40\) см, боковая сторона равна \(11\) см. Найти: Основание. Решение: В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны. Значит, вторая боковая сторона тоже \(11\) см. Пусть основание равно \(y\). \[P = 11 + 11 + y\] \[40 = 22 + y\] \[y = 40 - 22 = 18 \text{ см}\] Ответ: \(18\) см. Задача 4 (нижний левый рисунок) Дано: Треугольник равносторонний (все стороны отмечены как равные). Найти: Угол при вершине. Решение: В равностороннем треугольнике все углы равны. Так как сумма углов \(180^{\circ}\), то каждый угол равен: \[180^{\circ} : 3 = 60^{\circ}\] Ответ: \(60^{\circ}\). Задача 5 (нижний средний рисунок) Дано: Треугольник равнобедренный, внешний угол при вершине равен \(130^{\circ}\). Найти: Угол при основании. Решение: 1) Найдем внутренний угол при вершине. Он смежный с внешним: \[180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}\] 2) Так как треугольник равнобедренный (отмечено равенство боковых сторон), углы при основании равны: \[(180^{\circ} - 50^{\circ}) : 2 = 130^{\circ} : 2 = 65^{\circ}\] Ответ: \(65^{\circ}\). Задача 6 (нижний правый рисунок) Дано: Треугольник равнобедренный, угол при основании \(40^{\circ}\), проведена медиана/высота к основанию. Найти: Угол между боковой стороной и высотой (половину угла при вершине). Решение: 1) Найдем весь угол при вершине треугольника: \[180^{\circ} - (40^{\circ} + 40^{\circ}) = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}\] 2) В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой. Значит, искомый угол равен половине угла при вершине: \[100^{\circ} : 2 = 50^{\circ}\] Ответ: \(50^{\circ}\).