Исследование сходимости ряда ∑ (n+2)!/n²

Задача 2. Исследовать на сходимость указанный ряд с положительными членами. \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+2)!}{n^2} \] Решение: 1. Для исследования ряда на сходимость воспользуемся необходимым признаком сходимости. Согласно этому признаку, если ряд \( \sum a_n \) сходится, то предел его общего члена при \( n \to \infty \) должен быть равен нулю: \[ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \] 2. Выпишем общий член нашего ряда: \[ a_n = \frac{(n+2)!}{n^2} \] 3. Найдем предел общего члена при \( n \to \infty \). Распишем факториал: \[ (n+2)! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n \cdot (n+1) \cdot (n+2) \] Тогда предел примет вид: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{(n+2)!}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n \cdot (n+1) \cdot (n+2)}{n^2} \] 4. Заметим, что числитель растет значительно быстрее знаменателя. Даже если рассмотреть только последние множители числителя: \[ \frac{(n+1)(n+2)}{n^2} = \frac{n^2 + 3n + 2}{n^2} = 1 + \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2} \to 1 \] Однако в числителе остается еще множитель \( n! \), который стремится к бесконечности. Следовательно: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{(n+2)!}{n^2} = \infty \] 5. Так как предел общего члена не равен нулю (\( \infty \neq 0 \)), то необходимый признак сходимости не выполняется. Вывод: Данный ряд расходится. Ответ: ряд расходится.