Решение задачи: Исследование сходимости ряда

Задача 3. Исследовать на сходимость ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \text{tg} \frac{\pi}{5^n} \right)^{3n} \] Решение: 1. Для исследования данного ряда на сходимость удобнее всего воспользоваться радикальным признаком Коши, так как общий член ряда \( a_n \) возведен в степень, зависящую от \( n \). 2. Общий член ряда имеет вид: \[ a_n = \left( \text{tg} \frac{\pi}{5^n} \right)^{3n} \] 3. Согласно радикальному признаку Коши, необходимо вычислить предел: \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \left( \left( \text{tg} \frac{\pi}{5^n} \right)^{3n} \right)^{1/n} \] 4. Упростим выражение под пределом: \[ L = \lim_{n \to \infty} \left( \text{tg} \frac{\pi}{5^n} \right)^3 \] 5. Вычислим предел аргумента тангенса при \( n \to \infty \): Так как \( 5^n \to \infty \), то \( \frac{\pi}{5^n} \to 0 \). 6. Известно, что \( \text{tg}(0) = 0 \). Следовательно: \[ L = (\text{tg } 0)^3 = 0^3 = 0 \] 7. Сравним полученное значение \( L \) с единицей: Так как \( L = 0 \), и \( 0 < 1 \), то согласно радикальному признаку Коши ряд является сходящимся. Ответ: ряд сходится.