Решение задачи: Построение графиков уравнений

1 вариант Задание 1. Построение графиков а) \( (x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 4 \) Это уравнение окружности вида \( (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \). Центр окружности: \( O(1; 3) \). Радиус: \( R = \sqrt{4} = 2 \). Для построения в тетради: отметьте точку (1; 3) и проведите окружность радиусом 2 клетки. б) \( (x + 5)^2 + y^2 = 16 \) Центр окружности: \( O(-5; 0) \). Радиус: \( R = \sqrt{16} = 4 \). Для построения: отметьте точку (-5; 0) на оси OX и проведите окружность радиусом 4 клетки. г) \( x = 5 \) Это прямая, параллельная оси OY и проходящая через точку 5 на оси OX. Для построения: проведите вертикальную линию через отметку 5 по горизонтальной оси. д) \( y = -4 \) Это прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку -4 на оси OY. Для построения: проведите горизонтальную линию через отметку -4 по вертикальной оси. Задание 2. Доказательство и площадь Дано: \( A(5; 5), B(9; 1), C(6; -2), D(2; 2) \). 1) Докажем, что ABCD — прямоугольник. Для этого проверим равенство длин противоположных сторон и равенство диагоналей. Формула расстояния между точками: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \). Находим длины сторон: \[ AB = \sqrt{(9 - 5)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \] \[ CD = \sqrt{(2 - 6)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \] Стороны \( AB = CD \). \[ BC = \sqrt{(6 - 9)^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \] \[ DA = \sqrt{(5 - 2)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \] Стороны \( BC = DA \). Противоположные стороны равны, значит ABCD — параллелограмм. Проверим диагонали: \[ AC = \sqrt{(6 - 5)^2 + (-2 - 5)^2} = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] \[ BD = \sqrt{(2 - 9)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{(-7)^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] Так как диагонали равны (\( AC = BD \)), то параллелограмм ABCD является прямоугольником. Что и требовалось доказать. 2) Найдем площадь прямоугольника: \[ S = AB \cdot BC \] \[ S = \sqrt{32} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{576} = 24 \] Ответ: Площадь равна 24 кв. ед.