Решение Задачи: Дифференциальное Уравнение 2-го Порядка

Решение задачи 4.1. Дано дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и начальными условиями (задача Коши): \[ \frac{d^2 y}{dx^2} - 9y = 2 - x; \quad y(0) = 0, \quad y'(0) = 1 \] 1. Найдем общее решение однородного уравнения: \[ y'' - 9y = 0 \] Составим характеристическое уравнение: \[ k^2 - 9 = 0 \implies k^2 = 9 \implies k_1 = 3, \quad k_2 = -3 \] Общее решение однородного уравнения имеет вид: \[ y_{оо} = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-3x} \] 2. Найдем частное решение неоднородного уравнения \( y_{чн} \). Правая часть \( f(x) = 2 - x \) представляет собой многочлен первой степени. Так как число 0 не является корнем характеристического уравнения, частное решение ищем в виде: \[ y_{чн} = Ax + B \] Найдем производные: \[ y'_{чн} = A, \quad y''_{чн} = 0 \] Подставим их в исходное уравнение: \[ 0 - 9(Ax + B) = 2 - x \] \[ -9Ax - 9B = 2 - x \] Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях \( x \): При \( x^1 \): \( -9A = -1 \implies A = \frac{1}{9} \) При \( x^0 \): \( -9B = 2 \implies B = -\frac{2}{9} \) Следовательно, частное решение: \[ y_{чн} = \frac{1}{9}x - \frac{2}{9} \] 3. Запишем общее решение неоднородного уравнения: \[ y(x) = y_{оо} + y_{чн} = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-3x} + \frac{1}{9}x - \frac{2}{9} \] 4. Найдем константы \( C_1 \) и \( C_2 \), используя начальные условия. Сначала найдем производную общего решения: \[ y'(x) = 3C_1 e^{3x} - 3C_2 e^{-3x} + \frac{1}{9} \] Подставим \( x = 0 \) в выражения для \( y(x) \) и \( y'(x) \): 1) \( y(0) = C_1 + C_2 - \frac{2}{9} = 0 \implies C_1 + C_2 = \frac{2}{9} \) 2) \( y'(0) = 3C_1 - 3C_2 + \frac{1}{9} = 1 \implies 3C_1 - 3C_2 = \frac{8}{9} \) Решим систему уравнений: Из первого уравнения: \( C_2 = \frac{2}{9} - C_1 \) Подставим во второе: \[ 3C_1 - 3(\frac{2}{9} - C_1) = \frac{8}{9} \] \[ 3C_1 - \frac{6}{9} + 3C_1 = \frac{8}{9} \] \[ 6C_1 = \frac{14}{9} \implies C_1 = \frac{14}{54} = \frac{7}{27} \] Найдем \( C_2 \): \[ C_2 = \frac{2}{9} - \frac{7}{27} = \frac{6}{27} - \frac{7}{27} = -\frac{1}{27} \] 5. Запишем окончательный ответ: \[ y(x) = \frac{7}{27} e^{3x} - \frac{1}{27} e^{-3x} + \frac{1}{9}x - \frac{2}{9} \]