Решение задач из контрольной работы

Ниже представлены подробные решения задач из вашей контрольной работы, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь. Задание 1. Найти область определения функции. а) \( y = \sqrt[3]{3x - 7} \) Так как корень нечетной степени (кубический) определен при любых значениях подкоренного выражения, ограничений на \( x \) нет. Ответ: \( D(y): x \in (-\infty; +\infty) \) б) \( y = \log_{\frac{1}{2}}(x + 5) \) По определению логарифма, его аргумент должен быть строго положительным: \( x + 5 > 0 \) \( x > -5 \) Ответ: \( D(y): x \in (-5; +\infty) \) Задание 2. Вычислите. а) \( \log_6 4 + \log_6 \frac{1}{144} = \log_6 (4 \cdot \frac{1}{144}) = \log_6 \frac{1}{36} = \log_6 6^{-2} = -2 \) б) \( 2^3 \cdot 64^{\frac{1}{2}} - 64^{\frac{1}{3}} : 2^{-4} = 8 \cdot \sqrt{64} - \sqrt[3]{64} \cdot 2^4 = 8 \cdot 8 - 4 \cdot 16 = 64 - 64 = 0 \) в) \( \sqrt[3]{4 + 2\sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{4 - 2\sqrt{2}} = \sqrt[3]{(4 + 2\sqrt{2})(4 - 2\sqrt{2})} \) Применим формулу разности квадратов: \( \sqrt[3]{4^2 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt[3]{16 - 8} = \sqrt[3]{8} = 2 \) Задание 3. Решите уравнение и укажите промежуток. \( 4^x - 3 \cdot 4^{x-2} = 52 \) \( 4^x - 3 \cdot \frac{4^x}{4^2} = 52 \) \( 4^x (1 - \frac{3}{16}) = 52 \) \( 4^x \cdot \frac{13}{16} = 52 \) \( 4^x = 52 \cdot \frac{16}{13} \) \( 4^x = 4 \cdot 16 \) \( 4^x = 64 \) \( 4^x = 4^3 \Rightarrow x = 3 \) Число 3 входит в промежуток [3; 8]. Ответ: 4) [3; 8] Задание 3 (второе в списке). Решить уравнение. а) \( (0,1)^{2x-3} = 10 \) \( (10^{-1})^{2x-3} = 10^1 \) \( -2x + 3 = 1 \) \( -2x = -2 \Rightarrow x = 1 \) б) \( \sqrt{3x + 1} - \sqrt{x + 8} = 1 \) Перенесем корень: \( \sqrt{3x + 1} = 1 + \sqrt{x + 8} \) Возведем в квадрат: \( 3x + 1 = 1 + 2\sqrt{x + 8} + x + 8 \) \( 2x - 8 = 2\sqrt{x + 8} \) \( x - 4 = \sqrt{x + 8} \) Снова в квадрат (при \( x \ge 4 \)): \( x^2 - 8x + 16 = x + 8 \) \( x^2 - 9x + 8 = 0 \) По теореме Виета: \( x_1 = 8, x_2 = 1 \). Проверка: \( x = 1 \) не подходит (\( 1-4 = -3 \), а корень не может быть отрицательным). Ответ: 8. в) \( \ln(3x - 1) - \ln(x + 5) = \ln 5 \) ОДЗ: \( x > \frac{1}{3} \) \( \ln \frac{3x-1}{x+5} = \ln 5 \Rightarrow \frac{3x-1}{x+5} = 5 \) \( 3x - 1 = 5x + 25 \Rightarrow -2x = 26 \Rightarrow x = -13 \) Корень не входит в ОДЗ. Ответ: корней нет. г) \( \log_5^2 x - 2 = 3 \log_{125} x \) \( \log_5^2 x - 2 = 3 \cdot \frac{1}{3} \log_5 x \) \( \log_5^2 x - \log_5 x - 2 = 0 \) Пусть \( \log_5 x = t \), тогда \( t^2 - t - 2 = 0 \). \( t_1 = 2 \Rightarrow \log_5 x = 2 \Rightarrow x = 25 \) \( t_2 = -1 \Rightarrow \log_5 x = -1 \Rightarrow x = 0,2 \) Ответ: 0,2; 25. Задание 5. Решите неравенство. а) \( \ln(4x - 5) \ge \ln(5x - 8) \) Так как основание \( e > 1 \), знак сохраняется, учитываем ОДЗ: \[ \begin{cases} 4x - 5 \ge 5x - 8 \\ 5x - 8 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 3 \\ x > 1,6 \end{cases} \] Ответ: \( (1,6; 3] \) Задание 6. Найдите наименьшее целое число. \( 0,75^{2x+4} > (\frac{4}{3})^{2-3x} \) \( (\frac{3}{4})^{2x+4} > (\frac{3}{4})^{3x-2} \) Основание \( \frac{3}{4} < 1 \), меняем знак: \( 2x + 4 < 3x - 2 \Rightarrow x > 6 \) Наименьшее целое число: 7. Ответ: 7. Задание В2. \[ \begin{cases} 2 \cdot 3^x - 4^y = 14 \\ 3^x + 4^y = 13 \end{cases} \] Сложим уравнения: \( 3 \cdot 3^x = 27 \Rightarrow 3^x = 9 \Rightarrow x_0 = 2 \). Из второго уравнения: \( 9 + 4^y = 13 \Rightarrow 4^y = 4 \Rightarrow y_0 = 1 \). \( x_0 + y_0 = 2 + 1 = 3 \). Ответ: 3.