Решение 1 и 2 Варианта по Геометрии

Ниже представлено решение задач для Варианта 1 и Варианта 2, оформленное для записи в школьную тетрадь. Вариант 1 Задание 1. Для выполнения чертежа проведите две параллельные горизонтальные линии (или используйте одну линию сетки тетради). Начертите на них два вектора, направленных в одну и ту же сторону (например, вправо). Длина вектора \(\vec{a}\) должна составлять 3 см (6 клеток), а длина вектора \(\vec{b}\) — 5 см (10 клеток). Над стрелками подпишите \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Условие \(\vec{a} \uparrow \uparrow \vec{b}\) означает, что они сонаправлены. Задание 2. Начертите прямоугольник \(ABCD\) (вершины перечисляются по контуру против часовой стрелки, начиная с левого нижнего угла). а) Пару равных векторов: \(\vec{AB}\) и \(\vec{DC}\) (они имеют одинаковую длину и направление). б) Пару противоположно направленных векторов: \(\vec{BC}\) и \(\vec{DA}\) (или \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\)). в) Пару коллинеарных, но не равных векторов: в прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому векторы вдоль них будут либо равны, либо противоположны. Примером коллинеарных, но не равных векторов могут служить \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) (они имеют противоположные направления). Задание 3. Дано: \(\vec{m} = \vec{n}\), \(|\vec{m}| = 4\) см. а) Так как векторы равны, их длины совпадают: \(|\vec{n}| = |\vec{m}| = 4\) см. б) Длина вектора \(2\vec{m}\) в два раза больше длины вектора \(\vec{m}\): \(|2\vec{m}| = 2 \cdot 4 = 8\) см. в) Длина противоположного вектора \(-\vec{n}\) равна длине самого вектора \(\vec{n}\): \(|-\vec{n}| = 4\) см. Задание 4. Чтобы проверить равенство векторов, найдем их координаты по формуле \((x_2 - x_1; y_2 - y_1)\). Для \(\vec{AB}\) с \(A(1; 2)\) и \(B(4; 6)\): \[ \vec{AB} = (4 - 1; 6 - 2) = (3; 4) \] Для \(\vec{CD}\) с \(C(3; 1)\) и \(D(6; 5)\): \[ \vec{CD} = (6 - 3; 5 - 1) = (3; 4) \] Так как координаты векторов совпали (\(3 = 3\) и \(4 = 4\)), векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) равны. Ответ: равны. Вариант 2 Задание 1. Начертите две параллельные линии. Изобразите вектор \(\vec{c}\) длиной 4 см (8 клеток), направленный вправо. Изобразите вектор \(\vec{d}\) длиной 2 см (4 клетки), направленный влево. Условие \(\vec{c} \uparrow \downarrow \vec{d}\) означает, что они противоположно направлены. Задание 2. Начертите параллелограмм \(KLMN\). а) Пару равных векторов: \(\vec{KL}\) и \(\vec{NM}\). б) Пару сонаправленных, но не равных векторов: в обычном параллелограмме противоположные стороны равны. Чтобы векторы были сонаправлены, но не равны, нужно взять, например, вектор \(\vec{KL}\) и вектор, являющийся лишь частью противоположной стороны, но в рамках данной фигуры такими будут \(\vec{KL}\) и \(\vec{NM}\) (они равны). Если строго по фигуре, то сонаправленные векторы в параллелограмме всегда равны по модулю. в) Пару неколлинеарных векторов: \(\vec{KL}\) и \(\vec{LM}\) (они лежат на пересекающихся прямых). Задание 3. Дано: \(\vec{p} = \vec{q}\), \(|\vec{q}| = 5\) см. а) Так как векторы равны: \(|\vec{p}| = |\vec{q}| = 5\) см. б) Длина вектора \(3\vec{q}\): \(|3\vec{q}| = 3 \cdot 5 = 15\) см. в) Длина вектора \(-\vec{p}\): \(|-\vec{p}| = |\vec{p}| = 5\) см. Задание 4. Находим координаты векторов: Для \(\vec{EF}\) с \(E(-1; 3)\) и \(F(2; 7)\): \[ \vec{EF} = (2 - (-1); 7 - 3) = (3; 4) \] Для \(\vec{GH}\) с \(G(0; 1)\) и \(H(3; 5)\): \[ \vec{GH} = (3 - 0; 5 - 1) = (3; 4) \] Координаты векторов равны, следовательно, векторы \(\vec{EF}\) и \(\vec{GH}\) равны. Ответ: равны.