Решение задачи: Площадь сечения и центр тяжести (Вариант 10)

Для решения задачи по определению геометрических характеристик сечения (вариант 10, рисунок г) необходимо вычислить площадь сечения и положение центра тяжести. Дано (для варианта 10): \(d_1 = 104\) мм \(d_2 = 20\) мм \(h = 64\) мм \(b = 60\) мм \(a = 60\) мм \(h_1 = 24\) мм \(b_1 = 48\) мм \(h_2 = 6\) мм Решение: 1. Определение площади сечения \(A\). Сечение представляет собой круг диаметром \(d_1\), из которого вычтены два малых круга диаметром \(d_2\) и прямоугольное отверстие со сторонами \(b_1\) и \(h_1\). Площадь большого круга: \[A_1 = \frac{\pi \cdot d_1^2}{4} = \frac{3,14 \cdot 104^2}{4} = \frac{3,14 \cdot 10816}{4} = 8490,56 \text{ мм}^2\] Площадь двух малых кругов: \[A_2 = 2 \cdot \frac{\pi \cdot d_2^2}{4} = 2 \cdot \frac{3,14 \cdot 20^2}{4} = 2 \cdot 314 = 628 \text{ мм}^2\] Площадь прямоугольного отверстия: \[A_3 = b_1 \cdot h_1 = 48 \cdot 24 = 1152 \text{ мм}^2\] Общая площадь сечения: \[A = A_1 - A_2 - A_3 = 8490,56 - 628 - 1152 = 6710,56 \text{ мм}^2\] 2. Определение статических моментов и координат центра тяжести. Так как фигура симметрична относительно горизонтальной и вертикальной осей, проходящих через центр большого круга, то центр тяжести всей фигуры совпадает с центром большого круга. Примем начало координат в центре большого круга. Тогда координаты центра тяжести: \[x_c = 0\] \[y_c = 0\] 3. Определение моментов инерции (относительно центральных осей). Момент инерции круга: \[I_{x1} = I_{y1} = \frac{\pi \cdot d_1^4}{64} = \frac{3,14 \cdot 104^4}{64} \approx 5841505 \text{ мм}^4\] Момент инерции двух малых кругов (с учетом теоремы Штейнера, расстояние от оси до центра малых кругов равно \(a/2 = 30\) мм): \[I_{x2} = 2 \cdot \frac{\pi \cdot d_2^4}{64} = 2 \cdot \frac{3,14 \cdot 20^4}{64} = 15700 \text{ мм}^4\] \[I_{y2} = 2 \cdot (\frac{\pi \cdot d_2^4}{64} + A_{circle} \cdot (\frac{a}{2})^2) = 15700 + 628 \cdot 30^2 = 15700 + 565200 = 580900 \text{ мм}^4\] Момент инерции прямоугольника: \[I_{x3} = \frac{b_1 \cdot h_1^3}{12} = \frac{48 \cdot 24^3}{12} = 55296 \text{ мм}^4\] \[I_{y3} = \frac{h_1 \cdot b_1^3}{12} = \frac{24 \cdot 48^3}{12} = 221184 \text{ мм}^4\] Итоговые моменты инерции сечения: \[I_x = I_{x1} - I_{x2} - I_{x3} = 5841505 - 15700 - 55296 = 5770509 \text{ мм}^4\] \[I_y = I_{y1} - I_{y2} - I_{y3} = 5841505 - 580900 - 221184 = 5039421 \text{ мм}^4\] Ответ: \(A = 6710,56 \text{ мм}^2\), \(I_x = 5770509 \text{ мм}^4\), \(I_y = 5039421 \text{ мм}^4\).