Задача 313. На дне шахты глубиной 20 м лежит мяч. С какой минимальной скоростью должен быть брошен мяч со дна шахты, чтобы он вылетел из нее?
Дано:
Глубина шахты \(h = 20\) м
Ускорение свободного падения \(g \approx 9.8\) м/с\(^2\)
Найти:
Минимальная начальная скорость \(v_0\) — ?
Решение:
Для того чтобы мяч вылетел из шахты, его конечная высота должна быть не меньше глубины шахты. При этом, для нахождения минимальной начальной скорости, мы можем считать, что мяч достигнет края шахты и его скорость в этот момент станет равной нулю.
Воспользуемся формулой для высоты подъема тела, брошенного вертикально вверх:
\[h = \frac{v_0^2}{2g}\]Где:
- \(h\) — высота, на которую поднимется мяч (в нашем случае это глубина шахты)
- \(v_0\) — начальная скорость, с которой брошен мяч
- \(g\) — ускорение свободного падения
Из этой формулы выразим начальную скорость \(v_0\):
\[v_0^2 = 2gh\] \[v_0 = \sqrt{2gh}\]Теперь подставим известные значения:
\[v_0 = \sqrt{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 20 \text{ м}}\] \[v_0 = \sqrt{392 \text{ м}^2/\text{с}^2}\] \[v_0 \approx 19.8 \text{ м/с}\]Ответ: Минимальная скорость, с которой должен быть брошен мяч, чтобы он вылетел из шахты, составляет примерно 19.8 м/с.