Решение самостоятельной работы: Показательные уравнения

Вот решения всех уравнений из вашей самостоятельной работы. Я постарался оформить их так, чтобы было удобно переписать в тетрадь.


Самостоятельная работа «Решение показательных уравнений»

1. Решим уравнение: \(2^{7-2x} = \left(\frac{1}{2}\right)^{x-4}\)

Представим правую часть уравнения как степень числа 2: \[\left(\frac{1}{2}\right)^{x-4} = (2^{-1})^{x-4} = 2^{-(x-4)} = 2^{4-x}\] Теперь уравнение примет вид: \[2^{7-2x} = 2^{4-x}\] Так как основания степеней равны, то и показатели должны быть равны: \[7-2x = 4-x\] Перенесем \(x\) в одну сторону, а числа в другую: \[7-4 = 2x-x\] \[3 = x\]

Ответ: \(x=3\)

2. Решим уравнение: \(2^{x+2} + 2^x = 5\)

Используем свойство степеней \(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\): \[2^x \cdot 2^2 + 2^x = 5\] \[4 \cdot 2^x + 2^x = 5\] Вынесем \(2^x\) за скобки: \[2^x (4+1) = 5\] \[5 \cdot 2^x = 5\] Разделим обе части уравнения на 5: \[2^x = 1\] Представим 1 как степень числа 2: \(1 = 2^0\). \[2^x = 2^0\] Так как основания степеней равны, то и показатели должны быть равны: \[x = 0\]

Ответ: \(x=0\)

3. Решим уравнение: \(9^x - 6 \cdot 3^x = 27\)

Представим \(9^x\) как \((3^2)^x = (3^x)^2\): \[(3^x)^2 - 6 \cdot 3^x = 27\] Введем замену переменной. Пусть \(t = 3^x\). Так как \(3^x\) всегда положительно, то \(t > 0\). Уравнение примет вид квадратного: \[t^2 - 6t = 27\] \[t^2 - 6t - 27 = 0\] Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта или теоремы Виета. По теореме Виета: \(t_1 + t_2 = 6\) \(t_1 \cdot t_2 = -27\) Подходящие корни: \(t_1 = 9\) и \(t_2 = -3\).

Вернемся к замене: Случай 1: \(t = 9\) \[3^x = 9\] \[3^x = 3^2\] \[x = 2\]

Случай 2: \(t = -3\) \[3^x = -3\] Это уравнение не имеет решений, так как \(3^x\) всегда положительно.

Ответ: \(x=2\)

4. Решим уравнение: \(3^{x+1} - 4 \cdot 3^{x-2} = 69\)

Используем свойства степеней \(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\) и \(a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}\): \[3^x \cdot 3^1 - 4 \cdot \frac{3^x}{3^2} = 69\] \[3 \cdot 3^x - 4 \cdot \frac{3^x}{9} = 69\] \[3 \cdot 3^x - \frac{4}{9} \cdot 3^x = 69\] Вынесем \(3^x\) за скобки: \[3^x \left(3 - \frac{4}{9}\right) = 69\] Приведем дроби в скобках к общему знаменателю: \[3^x \left(\frac{27}{9} - \frac{4}{9}\right) = 69\] \[3^x \left(\frac{23}{9}\right) = 69\] Разделим обе части уравнения на \(\frac{23}{9}\) (или умножим на \(\frac{9}{23}\)): \[3^x = 69 \cdot \frac{9}{23}\] \[3^x = 3 \cdot 9\] \[3^x = 27\] Представим 27 как степень числа 3: \(27 = 3^3\). \[3^x = 3^3\] Так как основания степеней равны, то и показатели должны быть равны: \[x = 3\]

Ответ: \(x=3\)

5. Решим уравнение: \(27^{|x^2-2|} = 81\)

Представим 27 и 81 как степени числа 3: \(27 = 3^3\) \(81 = 3^4\) Уравнение примет вид: \[(3^3)^{|x^2-2|} = 3^4\] \[3^{3|x^2-2|} = 3^4\] Так как основания степеней равны, то и показатели должны быть равны: \[3|x^2-2| = 4\] Разделим обе части на 3: \[|x^2-2| = \frac{4}{3}\] Это уравнение с модулем распадается на два случая:

Случай 1: \(x^2-2 = \frac{4}{3}\) \[x^2 = 2 + \frac{4}{3}\] \[x^2 = \frac{6}{3} + \frac{4}{3}\] \[x^2 = \frac{10}{3}\] \[x = \pm\sqrt{\frac{10}{3}}\]

Случай 2: \(x^2-2 = -\frac{4}{3}\) \[x^2 = 2 - \frac{4}{3}\] \[x^2 = \frac{6}{3} - \frac{4}{3}\] \[x^2 = \frac{2}{3}\] \[x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}\]

Ответ: \(x = \pm\sqrt{\frac{10}{3}}\), \(x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}\)

6. Решим уравнение: \(\left(\frac{2}{9}\right)^{2x+3} = 4.5^{x-2}\)

Представим 4.5 в виде обыкновенной дроби: \(4.5 = \frac{9}{2}\). Уравнение примет вид: \[\left(\frac{2}{9}\right)^{2x+3} = \left(\frac{9}{2}\right)^{x-2}\] Представим правую часть как степень с основанием \(\frac{2}{9}\): \[\left(\frac{9}{2}\right)^{x-2} = \left(\left(\frac{2}{9}\right)^{-1}\right)^{x-2} = \left(\frac{2}{9}\right)^{-(x-2)} = \left(\frac{2}{9}\right)^{2-x}\] Теперь уравнение примет вид: \[\left(\frac{2}{9}\right)^{2x+3} = \left(\frac{2}{9}\right)^{2-x}\] Так как основания степеней равны, то и показатели должны быть равны: \[2x+3 = 2-x\] Перенесем \(x\) в одну сторону, а числа в другую: \[2x+x = 2-3\] \[3x = -1\] \[x = -\frac{1}{3}\]

Ответ: \(x = -\frac{1}{3}\)

7. Решим уравнение: \(3^{x+2} + 3^x = 30\)

Используем свойство степеней \(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\): \[3^x \cdot 3^2 + 3^x = 30\] \[9 \cdot 3^x + 3^x = 30\] Вынесем \(3^x\) за скобки: \[3^x (9+1) = 30\] \[10 \cdot 3^x = 30\] Разделим обе части уравнения на 10: \[3^x = 3\] Представим 3 как степень числа 3: \(3 = 3^1\). \[3^x = 3^1\] Так как основания степеней равны, то и показатели должны быть равны: \[x = 1\]

Ответ: \(x=1\)

8. Решим уравнение: \(4^x - 14 \cdot 2^x = 32\)

Представим \(4^x\) как \((2^2)^x = (2^x)^2\): \[(2^x)^2 - 14 \cdot 2^x = 32\] Введем замену переменной. Пусть \(t = 2^x\). Так как \(2^x\) всегда положительно, то \(t > 0\). Уравнение примет вид квадратного: \[t^2 - 14t = 32\] \[t^2 - 14t - 32 = 0\] Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта или теоремы Виета. По теореме Виета: \(t_1 + t_2 = 14\) \(t_1 \cdot t_2 = -32\) Подходящие корни: \(t_1 = 16\) и \(t_2 = -2\).

Вернемся к замене: Случай 1: \(t = 16\) \[2^x = 16\] \[2^x = 2^4\] \[x = 4\]

Случай 2: \(t = -2\) \[2^x = -2\] Это уравнение не имеет решений, так как \(2^x\) всегда положительно.

Ответ: \(x=4\)

9. Решим уравнение: \(\left(\frac{1}{3}\right)^x + 3^{x+3} = 12\)

Представим \(\left(\frac{1}{3}\right)^x\) как \((3^{-1})^x = 3^{-x}\). Используем свойство степеней \(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\): \[3^{-x} + 3^x \cdot 3^3 = 12\] \[3^{-x} + 27 \cdot 3^x = 12\] Введем замену переменной. Пусть \(t = 3^x\). Так как \(3^x\) всегда положительно, то \(t > 0\). Тогда \(3^{-x} = \frac{1}{3^x} = \frac{1}{t}\). Уравнение примет вид: \[\frac{1}{t} + 27t = 12\] Умножим обе части уравнения на \(t\) (так как \(t \neq 0\)): \[1 + 27t^2 = 12t\] Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[27t^2 - 12t + 1 = 0\] Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 27 \cdot 1 = 144 - 108 = 36\) \[t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 27} = \frac{12 \pm 6}{54}\]

Случай 1: \(t_1 = \frac{12+6}{54} = \frac{18}{54} = \frac{1}{3}\) Вернемся к замене: \[3^x = \frac{1}{3}\] \[3^x = 3^{-1}\] \[x = -1\]

Случай 2: \(t_2 = \frac{12-6}{54} = \frac{6}{54} = \frac{1}{9}\) Вернемся к замене: \[3^x = \frac{1}{9}\] \[3^x = 3^{-2}\] \[x = -2\]

Ответ: \(x=-1\), \(x=-2\)

10. Решим уравнение: \(8^{|x^2-1|} = 16\)

Представим 8 и 16 как степени числа 2: \(8 = 2^3\) \(16 = 2^4\) Уравнение примет вид: \[(2^3)^{|x^2-1|} = 2^4\] \[2^{3|x^2-1|} = 2^4\] Так как основания степеней равны, то и показатели должны быть равны: \[3|x^2-1| = 4\] Разделим обе части на 3: \[|x^2-1| = \frac{4}{3}\] Это уравнение с модулем распадается на два случая:

Случай 1: \(x^2-1 = \frac{4}{3}\) \[x^2 = 1 + \frac{4}{3}\] \[x^2 = \frac{3}{3} + \frac{4}{3}\] \[x^2 = \frac{7}{3}\] \[x = \pm\sqrt{\frac{7}{3}}\]

Случай 2: \(x^2-1 = -\frac{4}{3}\) \[x^2 = 1 - \frac{4}{3}\] \[x^2 = \frac{3}{3} - \frac{4}{3}\] \[x^2 = -\frac{1}{3}\] Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ: \(x = \pm\sqrt{\frac{7}{3}}\)