Задача 2.
Найдите корень уравнения
\[ \log_{\frac{1}{8}} (13 - x) = -2. \]
Решение:
Для решения логарифмического уравнения воспользуемся определением логарифма: если \( \log_b a = c \), то \( b^c = a \).
В нашем случае \( b = \frac{1}{8} \), \( a = 13 - x \), \( c = -2 \).
Применим определение логарифма:
\[ 13 - x = \left(\frac{1}{8}\right)^{-2}. \]
Вспомним свойство степеней: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) и \( \left(\frac{1}{a}\right)^{-n} = a^n \).
Значит, \( \left(\frac{1}{8}\right)^{-2} = 8^2 \).
Вычислим \( 8^2 \):
\[ 8^2 = 8 \cdot 8 = 64. \]
Теперь подставим это значение обратно в уравнение:
\[ 13 - x = 64. \]
Чтобы найти \( x \), перенесем \( 13 \) в правую часть уравнения, изменив его знак:
\[ -x = 64 - 13. \]
Выполним вычитание:
\[ -x = 51. \]
Умножим обе части уравнения на \( -1 \), чтобы найти \( x \):
\[ x = -51. \]
Проверка:
Подставим найденное значение \( x = -51 \) в исходное уравнение:
\[ \log_{\frac{1}{8}} (13 - (-51)) = \log_{\frac{1}{8}} (13 + 51) = \log_{\frac{1}{8}} (64). \]
Нам нужно найти степень, в которую нужно возвести \( \frac{1}{8} \), чтобы получить \( 64 \).
Пусть \( \log_{\frac{1}{8}} (64) = y \).
Тогда \( \left(\frac{1}{8}\right)^y = 64 \).
Мы знаем, что \( \frac{1}{8} = 8^{-1} \).
Значит, \( (8^{-1})^y = 64 \).
\[ 8^{-y} = 8^2. \]
Так как основания равны, то и показатели степени должны быть равны:
\[ -y = 2. \]
\[ y = -2. \]
Получили \( -2 \), что соответствует правой части исходного уравнения. Значит, корень найден верно.
Ответ:
\[ -51. \]