Решение: Реши задачу: Реши

Вот решения задач. 1. Решите неравенство \( \log_{\frac{1}{2}}(x+3) > -2 \). Решение: Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма. Выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля: \( x+3 > 0 \) \( x > -3 \) Теперь решим само неравенство. Помним, что если основание логарифма \( a \) находится в интервале \( 0 < a < 1 \), то при отбрасывании логарифма знак неравенства меняется на противоположный. В нашем случае основание \( a = \frac{1}{2} \), что удовлетворяет этому условию. Представим правую часть неравенства в виде логарифма по основанию \( \frac{1}{2} \): \( -2 = \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} \) \( -2 = \log_{\frac{1}{2}} (2^2) \) \( -2 = \log_{\frac{1}{2}} 4 \) Теперь неравенство выглядит так: \( \log_{\frac{1}{2}}(x+3) > \log_{\frac{1}{2}} 4 \) Так как основание логарифма \( \frac{1}{2} < 1 \), то при переходе к выражениям под логарифмом знак неравенства меняется: \( x+3 < 4 \) \( x < 4-3 \) \( x < 1 \) Теперь объединим это решение с ОДЗ: \( x > -3 \) и \( x < 1 \) Таким образом, решение неравенства: \( -3 < x < 1 \). Ответ: \( (-3; 1) \). 2. Исследуйте функцию \( y = e^x (2x+3) \) на монотонность и экстремумы. Решение: Для исследования функции на монотонность и экстремумы нужно найти её производную и приравнять её к нулю. Функция: \( y = e^x (2x+3) \) Найдем производную \( y' \) по правилу произведения \( (uv)' = u'v + uv' \). Пусть \( u = e^x \), тогда \( u' = e^x \). Пусть \( v = 2x+3 \), тогда \( v' = 2 \). \( y' = (e^x)' (2x+3) + e^x (2x+3)' \) \( y' = e^x (2x+3) + e^x (2) \) Вынесем \( e^x \) за скобки: \( y' = e^x (2x+3+2) \) \( y' = e^x (2x+5) \) Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( e^x (2x+5) = 0 \) Так как \( e^x \) всегда больше нуля для любого действительного \( x \), то \( e^x \neq 0 \). Значит, \( 2x+5 = 0 \) \( 2x = -5 \) \( x = -\frac{5}{2} \) \( x = -2.5 \) Это критическая точка. Теперь определим знаки производной на интервалах, чтобы понять монотонность функции. Рассмотрим интервалы: \( (-\infty; -2.5) \) и \( (-2.5; +\infty) \). 1. Для интервала \( (-\infty; -2.5) \): Возьмем тестовую точку, например, \( x = -3 \). \( y'(-3) = e^{-3} (2(-3)+5) = e^{-3} (-6+5) = e^{-3} (-1) = -\frac{1}{e^3} \) Так как \( y'(-3) < 0 \), функция убывает на интервале \( (-\infty; -2.5) \). 2. Для интервала \( (-2.5; +\infty) \): Возьмем тестовую точку, например, \( x = 0 \). \( y'(0) = e^0 (2(0)+5) = 1 (0+5) = 5 \) Так как \( y'(0) > 0 \), функция возрастает на интервале \( (-2.5; +\infty) \). В точке \( x = -2.5 \) производная меняет знак с минуса на плюс, что означает, что в этой точке функция имеет локальный минимум. Найдем значение функции в этой точке: \( y(-2.5) = e^{-2.5} (2(-2.5)+3) \) \( y(-2.5) = e^{-2.5} (-5+3) \) \( y(-2.5) = e^{-2.5} (-2) \) \( y(-2.5) = -\frac{2}{e^{2.5}} \) Выводы: Функция убывает на интервале \( (-\infty; -2.5] \). Функция возрастает на интервале \( [-2.5; +\infty) \). Функция имеет локальный минимум в точке \( x = -2.5 \), значение которого \( y_{min} = -\frac{2}{e^{2.5}} \). Ответ: Функция убывает на \( (-\infty; -2.5] \). Функция возрастает на \( [-2.5; +\infty) \). Локальный минимум в точке \( x = -2.5 \), \( y_{min} = -\frac{2}{e^{2.5}} \). 3. Напишите уравнение касательной к графику функции \( y = \ln(ex) \) в точке \( x=1 \). Решение: Уравнение касательной к графику функции \( y=f(x) \) в точке \( x_0 \) имеет вид: \( y - y_0 = f'(x_0) (x - x_0) \) где \( x_0 = 1 \), \( y_0 = f(x_0) \), а \( f'(x_0) \) - значение производной функции в точке \( x_0 \). Сначала найдем значение функции в точке \( x_0 = 1 \): \( y_0 = f(1) = \ln(e \cdot 1) = \ln(e) = 1 \) Итак, точка касания имеет координаты \( (1; 1) \). Теперь найдем производную функции \( y = \ln(ex) \). Можно упростить функцию перед дифференцированием, используя свойство логарифма \( \ln(ab) = \ln a + \ln b \): \( y = \ln(e) + \ln(x) \) \( y = 1 + \ln(x) \) Теперь найдем производную \( y' \): \( y' = (1 + \ln(x))' \) \( y' = 0 + \frac{1}{x} \) \( y' = \frac{1}{x} \) Найдем значение производной в точке \( x_0 = 1 \): \( f'(1) = \frac{1}{1} = 1 \) Теперь подставим все найденные значения в уравнение касательной: \( y - y_0 = f'(x_0) (x - x_0) \) \( y - 1 = 1 (x - 1) \) \( y - 1 = x - 1 \) \( y = x - 1 + 1 \) \( y = x \) Ответ: Уравнение касательной: \( y = x \). 4. Решите уравнение \( \log_5 x^2 + \log_x 5 + 3 = 0 \). Решение: Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмов. 1. Выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля: \( x^2 > 0 \Rightarrow x \neq 0 \) 2. Основание логарифма должно быть строго больше нуля и не равно единице: \( x > 0 \) и \( x \neq 1 \) Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: \( x > 0 \) и \( x \neq 1 \). Теперь преобразуем уравнение, используя свойство смены основания логарифма: \( \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \). В нашем случае, \( \log_x 5 = \frac{1}{\log_5 x} \). Также используем свойство \( \log_a b^k = k \log_a b \): \( \log_5 x^2 = 2 \log_5 x \) (это возможно, так как \( x > 0 \), поэтому \( |x|=x \)). Подставим эти преобразования в исходное уравнение: \( 2 \log_5 x + \frac{1}{\log_5 x} + 3 = 0 \) Сделаем замену переменной. Пусть \( t = \log_5 x \). Тогда уравнение примет вид: \( 2t + \frac{1}{t} + 3 = 0 \) Умножим все члены уравнения на \( t \) (поскольку \( x \neq 1 \), то \( \log_5 x \neq 0 \), значит \( t \neq 0 \)): \( 2t^2 + 1 + 3t = 0 \) Перепишем в стандартном виде квадратного уравнения: \( 2t^2 + 3t + 1 = 0 \) Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \): \( D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 \) \( D = 9 - 8 \) \( D = 1 \) Найдем корни \( t \): \( t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \) \( t_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3+1}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \) \( t_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3-1}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \) Теперь вернемся к замене \( t = \log_5 x \): Случай 1: \( t_1 = -\frac{1}{2} \) \( \log_5 x = -\frac{1}{2} \) По определению логарифма: \( x = 5^{-\frac{1}{2}} \) \( x = \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}} \) \( x = \frac{1}{\sqrt{5}} \) Проверим, удовлетворяет ли это значение ОДЗ: \( x = \frac{1}{\sqrt{5}} > 0 \) и \( x \neq 1 \). Да, удовлетворяет. Случай 2: \( t_2 = -1 \) \( \log_5 x = -1 \) По определению логарифма: \( x = 5^{-1} \) \( x = \frac{1}{5} \) Проверим, удовлетворяет ли это значение ОДЗ: \( x = \frac{1}{5} > 0 \) и \( x \neq 1 \). Да, удовлетворяет. Ответ: \( x_1 = \frac{1}{\sqrt{5}} \), \( x_2 = \frac{1}{5} \). 5. Решите систему уравнений \[ \begin{cases} \left(\frac{1}{9}\right)^{-y} = 3^{2x-5} \\ \log_2(3y+8x-3) = \log_2 \lg 10000 + \log_{32} x^5 \end{cases} \] Решение: Сначала упростим каждое уравнение системы. Первое уравнение: \( \left(\frac{1}{9}\right)^{-y} = 3^{2x-5} \) Перепишем \( \frac{1}{9} \) как \( 3^{-2} \): \( (3^{-2})^{-y} = 3^{2x-5} \) \( 3^{2y} = 3^{2x-5} \) Так как основания равны, то показатели степени тоже должны быть равны: \( 2y = 2x-5 \) \( 2y - 2x = -5 \) \( 2x - 2y = 5 \) (1) Второе уравнение: \( \log_2(3y+8x-3) = \log_2 \lg 10000 + \log_{32} x^5 \) Определим ОДЗ для второго уравнения: 1. Выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля: \( 3y+8x-3 > 0 \) 2. Выражение под логарифмом \( x^5 \) должно быть строго больше нуля: \( x^5 > 0 \Rightarrow x > 0 \) Упростим правую часть второго уравнения. \( \lg 10000 \) - это десятичный логарифм. \( 10000 = 10^4 \). \( \lg 10000 = \lg 10^4 = 4 \). Теперь преобразуем \( \log_{32} x^5 \). Основание \( 32 = 2^5 \). \( \log_{32} x^5 = \log_{2^5} x^5 \) Используем свойство \( \log_{a^k} b^k = \log_a b \): \( \log_{2^5} x^5 = \log_2 x \) Подставим упрощенные значения в второе уравнение: \( \log_2(3y+8x-3) = \log_2 4 + \log_2 x \) Используем свойство \( \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) \): \( \log_2(3y+8x-3) = \log_2 (4x) \) Так как основания логарифмов равны, то выражения под логарифмами тоже должны быть равны: \( 3y+8x-3 = 4x \) \( 3y+8x-4x = 3 \) \( 3y+4x = 3 \) (2) Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений: \[ \begin{cases} 2x - 2y = 5 \quad (1) \\ 4x + 3y = 3 \quad (2) \end{cases} \] Решим эту систему методом сложения или подстановки. Из уравнения (1) выразим \( x \): \( 2x = 5 + 2y \) \( x = \frac{5+2y}{2} \) \( x = 2.5 + y \) Подставим это выражение для \( x \) в уравнение (2): \( 4(2.5 + y) + 3y = 3 \) \( 10 + 4y + 3y = 3 \) \( 10 + 7y = 3 \) \( 7y = 3 - 10 \) \( 7y = -7 \) \( y = -1 \) Теперь найдем \( x \), подставив \( y = -1 \) в выражение для \( x \): \( x = 2.5 + (-1) \) \( x = 1.5 \) Проверим найденные значения \( x=1.5 \) и \( y=-1 \) на соответствие ОДЗ: 1. \( x > 0 \): \( 1.5 > 0 \). Удовлетворяет. 2. \( 3y+8x-3 > 0 \): \( 3(-1) + 8(1.5) - 3 = -3 + 12 - 3 = 9 - 3 = 6 \) \( 6 > 0 \). Удовлетворяет. Таким образом, найденные значения являются решением системы. Ответ: \( x = 1.5 \), \( y = -1 \).