Решение неравенства log(1/3)(x+5) >= -1

Вот решения всех задач, оформленные так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. 1. Решите неравенство \( \log_{\frac{1}{3}}(x+5) \ge -1 \). Решение: Область допустимых значений (ОДЗ): \( x+5 > 0 \) \( x > -5 \) Представим \(-1\) как логарифм по основанию \( \frac{1}{3} \): \( -1 = \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{3} \right)^{-1} = \log_{\frac{1}{3}} 3 \) Теперь неравенство выглядит так: \( \log_{\frac{1}{3}}(x+5) \ge \log_{\frac{1}{3}} 3 \) Так как основание логарифма \( \frac{1}{3} \) находится в интервале \( (0; 1) \), то функция \( \log_{\frac{1}{3}} t \) является убывающей. При отбрасывании логарифмов знак неравенства меняется на противоположный: \( x+5 \le 3 \) \( x \le 3-5 \) \( x \le -2 \) Учитывая ОДЗ \( x > -5 \), получаем: \( -5 < x \le -2 \) Ответ: \( (-5; -2] \). 2. Исследуйте функцию \( y = e^x (3x-2) \) на монотонность и экстремумы. Решение: Для исследования функции на монотонность и экстремумы найдем ее производную. Используем правило произведения \( (uv)' = u'v + uv' \). Пусть \( u = e^x \), тогда \( u' = e^x \). Пусть \( v = 3x-2 \), тогда \( v' = 3 \). Производная функции: \( y' = (e^x)'(3x-2) + e^x(3x-2)' \) \( y' = e^x(3x-2) + e^x \cdot 3 \) \( y' = e^x(3x-2+3) \) \( y' = e^x(3x+1) \) Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \( e^x(3x+1) = 0 \) Так как \( e^x > 0 \) для всех \( x \), то: \( 3x+1 = 0 \) \( 3x = -1 \) \( x = -\frac{1}{3} \) Определим знаки производной на интервалах: 1. Интервал \( (-\infty; -\frac{1}{3}) \): Возьмем пробную точку, например, \( x = -1 \). \( y'(-1) = e^{-1}(3(-1)+1) = e^{-1}(-3+1) = e^{-1}(-2) = -\frac{2}{e} < 0 \). На этом интервале функция убывает. 2. Интервал \( (-\frac{1}{3}; +\infty) \): Возьмем пробную точку, например, \( x = 0 \). \( y'(0) = e^0(3(0)+1) = 1(0+1) = 1 > 0 \). На этом интервале функция возрастает. Так как при переходе через точку \( x = -\frac{1}{3} \) производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке функция имеет локальный минимум. Найдем значение функции в точке минимума: \( y\left(-\frac{1}{3}\right) = e^{-\frac{1}{3}}\left(3\left(-\frac{1}{3}\right)-2\right) \) \( y\left(-\frac{1}{3}\right) = e^{-\frac{1}{3}}(-1-2) \) \( y\left(-\frac{1}{3}\right) = -3e^{-\frac{1}{3}} = -\frac{3}{\sqrt[3]{e}} \) Выводы: Функция убывает на интервале \( \left(-\infty; -\frac{1}{3}\right] \). Функция возрастает на интервале \( \left[-\frac{1}{3}; +\infty\right) \). Функция имеет локальный минимум в точке \( x = -\frac{1}{3} \), значение минимума \( y = -\frac{3}{\sqrt[3]{e}} \). Ответ: Функция убывает на \( \left(-\infty; -\frac{1}{3}\right] \). Функция возрастает на \( \left[-\frac{1}{3}; +\infty\right) \). Точка локального минимума: \( x = -\frac{1}{3} \). Значение локального минимума: \( y = -\frac{3}{\sqrt[3]{e}} \). 3. Напишите уравнение касательной к графику функции \( y = \ln(2x-5) \) в точке \( x=3 \). Решение: Уравнение касательной в точке \( x_0 \) имеет вид: \( y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \) где \( x_0 = 3 \). 1. Найдем значение функции в точке \( x_0 = 3 \): \( y_0 = f(3) = \ln(2 \cdot 3 - 5) = \ln(6 - 5) = \ln(1) = 0 \). 2. Найдем производную функции \( y = \ln(2x-5) \): Используем правило производной сложной функции \( (\ln u)' = \frac{1}{u} \cdot u' \). Пусть \( u = 2x-5 \), тогда \( u' = (2x-5)' = 2 \). \( y' = \frac{1}{2x-5} \cdot 2 = \frac{2}{2x-5} \). 3. Найдем значение производной в точке \( x_0 = 3 \): \( f'(3) = \frac{2}{2 \cdot 3 - 5} = \frac{2}{6 - 5} = \frac{2}{1} = 2 \). 4. Подставим найденные значения в уравнение касательной: \( y - 0 = 2(x - 3) \) \( y = 2x - 6 \) Ответ: \( y = 2x - 6 \). 4. Решите уравнение \( \log_x 2 - 1 = 4 \log_2 \sqrt{x} \). Решение: Область допустимых значений (ОДЗ): \( x > 0 \) \( x \ne 1 \) Преобразуем члены уравнения: \( \log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x} \) (по формуле перехода к другому основанию) \( \log_2 \sqrt{x} = \log_2 x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log_2 x \) Подставим эти выражения в исходное уравнение: \( \frac{1}{\log_2 x} - 1 = 4 \cdot \frac{1}{2} \log_2 x \) \( \frac{1}{\log_2 x} - 1 = 2 \log_2 x \) Пусть \( t = \log_2 x \). Тогда уравнение примет вид: \( \frac{1}{t} - 1 = 2t \) Умножим обе части уравнения на \( t \) (при условии \( t \ne 0 \), что означает \( \log_2 x \ne 0 \), то есть \( x \ne 1 \), что уже учтено в ОДЗ): \( 1 - t = 2t^2 \) Перенесем все члены в одну сторону: \( 2t^2 + t - 1 = 0 \) Решим квадратное уравнение относительно \( t \) с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \) \( t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 3}{4} \) Два возможных значения для \( t \): \( t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) \( t_2 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \) Теперь вернемся к замене \( t = \log_2 x \): Случай 1: \( t_1 = \frac{1}{2} \) \( \log_2 x = \frac{1}{2} \) \( x = 2^{\frac{1}{2}} \) \( x = \sqrt{2} \) Это значение удовлетворяет ОДЗ (\( \sqrt{2} > 0 \) и \( \sqrt{2} \ne 1 \)). Случай 2: \( t_2 = -1 \) \( \log_2 x = -1 \) \( x = 2^{-1} \) \( x = \frac{1}{2} \) Это значение также удовлетворяет ОДЗ (\( \frac{1}{2} > 0 \) и \( \frac{1}{2} \ne 1 \)). Ответ: \( x_1 = \sqrt{2} \), \( x_2 = \frac{1}{2} \). 5. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} \left(\frac{1}{25}\right)^{-y} = 5^{x+1} \\ \log_3(4y+6x-12) = \lg \log_2 1024 + \log_{27} x^3 \end{cases} \] Решение: Рассмотрим первое уравнение: \( \left(\frac{1}{25}\right)^{-y} = 5^{x+1} \) \( (25)^{-(-y)} = 5^{x+1} \) \( (5^2)^y = 5^{x+1} \) \( 5^{2y} = 5^{x+1} \) Так как основания равны, то показатели степени тоже равны: \( 2y = x+1 \) Выразим \( x \) через \( y \): \( x = 2y-1 \) (Уравнение 1') Теперь рассмотрим второе уравнение: \( \log_3(4y+6x-12) = \lg \log_2 1024 + \log_{27} x^3 \) Сначала упростим правую часть. Найдем \( \log_2 1024 \): \( 2^{10} = 1024 \), значит \( \log_2 1024 = 10 \). Тогда \( \lg \log_2 1024 = \lg 10 \). \( \lg 10 = 1 \) (так как \( \lg \) это логарифм по основанию 10). Теперь упростим \( \log_{27} x^3 \): \( \log_{27} x^3 = \log_{3^3} x^3 \) Используем свойство \( \log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b \): \( \log_{3^3} x^3 = \frac{3}{3} \log_3 x = \log_3 x \) Теперь второе уравнение принимает вид: \( \log_3(4y+6x-12) = 1 + \log_3 x \) Область допустимых значений (ОДЗ) для второго уравнения: 1. \( 4y+6x-12 > 0 \) 2. \( x > 0 \) Представим \( 1 \) как логарифм по основанию \( 3 \): \( 1 = \log_3 3 \) Тогда уравнение становится: \( \log_3(4y+6x-12) = \log_3 3 + \log_3 x \) Используем свойство \( \log_a M + \log_a N = \log_a (MN) \): \( \log_3(4y+6x-12) = \log_3 (3x) \) Так как основания логарифмов равны, то их аргументы тоже равны: \( 4y+6x-12 = 3x \) \( 4y+3x-12 = 0 \) (Уравнение 2') Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений: \[ \begin{cases} x = 2y-1 \\ 4y+3x-12 = 0 \end{cases} \] Подставим \( x = 2y-1 \) из Уравнения 1' во Уравнение 2': \( 4y + 3(2y-1) - 12 = 0 \) \( 4y + 6y - 3 - 12 = 0 \) \( 10y - 15 = 0 \) \( 10y = 15 \) \( y = \frac{15}{10} \) \( y = \frac{3}{2} \) Теперь найдем \( x \), подставив \( y = \frac{3}{2} \) в Уравнение 1': \( x = 2\left(\frac{3}{2}\right) - 1 \) \( x = 3 - 1 \) \( x = 2 \) Проверим найденные значения \( x=2 \) и \( y=\frac{3}{2} \) на соответствие ОДЗ: 1. \( x > 0 \): \( 2 > 0 \) - верно. 2. \( 4y+6x-12 > 0 \): \( 4\left(\frac{3}{2}\right) + 6(2) - 12 = 2 \cdot 3 + 12 - 12 = 6 + 12 - 12 = 6 \) \( 6 > 0 \) - верно. Оба условия ОДЗ выполнены. Ответ: \( x=2 \), \( y=\frac{3}{2} \).