Решение: Реши задачу: Реши

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. 1. Решите неравенство \( \log_{\frac{1}{3}}(x+5) \ge -1 \). Решение: Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма. Выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля: \( x+5 > 0 \) \( x > -5 \) Теперь решим само неравенство. Помним, что \( -1 \) можно представить как логарифм по основанию \( \frac{1}{3} \): \( -1 = \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{3} \right)^{-1} = \log_{\frac{1}{3}} 3 \) Тогда неравенство примет вид: \( \log_{\frac{1}{3}}(x+5) \ge \log_{\frac{1}{3}} 3 \) Так как основание логарифма \( \frac{1}{3} \) находится в интервале \( (0; 1) \), то при отбрасывании логарифмов знак неравенства меняется на противоположный: \( x+5 \le 3 \) \( x \le 3-5 \) \( x \le -2 \) Теперь объединим полученное решение с ОДЗ: \( x > -5 \) и \( x \le -2 \) Таким образом, решением неравенства является интервал: \( -5 < x \le -2 \) Ответ: \( (-5; -2] \). 2. Исследуйте функцию \( y = e^x (3x-2) \) на монотонность и экстремумы. Решение: Для исследования функции на монотонность и экстремумы найдем ее первую производную. Используем правило дифференцирования произведения \( (uv)' = u'v + uv' \). Пусть \( u = e^x \), тогда \( u' = e^x \). Пусть \( v = 3x-2 \), тогда \( v' = 3 \). Найдем производную \( y' \): \( y' = (e^x)'(3x-2) + e^x(3x-2)' \) \( y' = e^x(3x-2) + e^x(3) \) \( y' = e^x(3x-2+3) \) \( y' = e^x(3x+1) \) Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \( e^x(3x+1) = 0 \) Так как \( e^x > 0 \) для всех действительных \( x \), то: \( 3x+1 = 0 \) \( 3x = -1 \) \( x = -\frac{1}{3} \) Эта точка \( x = -\frac{1}{3} \) является критической. Теперь определим знаки производной на интервалах, на которые критическая точка делит числовую ось: \( (-\infty; -\frac{1}{3}) \) и \( (-\frac{1}{3}; +\infty) \). Возьмем пробную точку из интервала \( (-\infty; -\frac{1}{3}) \), например, \( x = -1 \): \( y'(-1) = e^{-1}(3(-1)+1) = e^{-1}(-3+1) = e^{-1}(-2) = -\frac{2}{e} \) Так как \( y'(-1) < 0 \), функция убывает на интервале \( (-\infty; -\frac{1}{3}) \). Возьмем пробную точку из интервала \( (-\frac{1}{3}; +\infty) \), например, \( x = 0 \): \( y'(0) = e^0(3(0)+1) = 1(0+1) = 1 \) Так как \( y'(0) > 0 \), функция возрастает на интервале \( (-\frac{1}{3}; +\infty) \). Поскольку при переходе через точку \( x = -\frac{1}{3} \) производная меняет знак с минуса на плюс, в этой точке функция имеет локальный минимум. Найдем значение функции в точке минимума: \( y\left(-\frac{1}{3}\right) = e^{-\frac{1}{3}}\left(3\left(-\frac{1}{3}\right)-2\right) = e^{-\frac{1}{3}}(-1-2) = -3e^{-\frac{1}{3}} = -\frac{3}{\sqrt[3]{e}} \) Выводы: Функция убывает на интервале \( \left(-\infty; -\frac{1}{3}\right] \). Функция возрастает на интервале \( \left[-\frac{1}{3}; +\infty\right) \). Функция имеет локальный минимум в точке \( x = -\frac{1}{3} \), значение минимума \( y_{min} = -\frac{3}{\sqrt[3]{e}} \). Ответ: Функция убывает на \( \left(-\infty; -\frac{1}{3}\right] \). Функция возрастает на \( \left[-\frac{1}{3}; +\infty\right) \). Точка локального минимума: \( x = -\frac{1}{3} \), \( y_{min} = -\frac{3}{\sqrt[3]{e}} \). 3. Напишите уравнение касательной к графику функции \( y = \ln(2x-5) \) в точке \( x=3 \). Решение: Уравнение касательной к графику функции \( y=f(x) \) в точке \( x_0 \) имеет вид: \( y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) \) В нашем случае \( f(x) = \ln(2x-5) \) и \( x_0 = 3 \). Шаг 1: Найдем значение функции в точке \( x_0 = 3 \). \( f(3) = \ln(2 \cdot 3 - 5) = \ln(6 - 5) = \ln(1) = 0 \) Шаг 2: Найдем производную функции \( f'(x) \). Используем правило дифференцирования сложной функции \( (\ln(g(x)))' = \frac{g'(x)}{g(x)} \). Пусть \( g(x) = 2x-5 \), тогда \( g'(x) = 2 \). \( f'(x) = \frac{2}{2x-5} \) Шаг 3: Найдем значение производной в точке \( x_0 = 3 \). \( f'(3) = \frac{2}{2 \cdot 3 - 5} = \frac{2}{6 - 5} = \frac{2}{1} = 2 \) Шаг 4: Подставим найденные значения в уравнение касательной. \( y - f(3) = f'(3)(x - 3) \) \( y - 0 = 2(x - 3) \) \( y = 2x - 6 \) Ответ: Уравнение касательной: \( y = 2x - 6 \). 4. Решите уравнение \( \log_x 2 - 1 = 4 \log_2 \sqrt{x} \). Решение: Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной \( x \). Основание логарифма \( x \) должно быть положительным и не равным 1: \( x > 0, x \ne 1 \) Выражение под логарифмом \( \sqrt{x} \) должно быть положительным, что также означает \( x > 0 \). Теперь преобразуем уравнение. Используем формулу перехода к новому основанию: \( \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \). Тогда \( \log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x} \). Также используем свойство логарифма степени: \( \log_a b^k = k \log_a b \). \( 4 \log_2 \sqrt{x} = 4 \log_2 x^{\frac{1}{2}} = 4 \cdot \frac{1}{2} \log_2 x = 2 \log_2 x \). Подставим эти преобразования в исходное уравнение: \( \frac{1}{\log_2 x} - 1 = 2 \log_2 x \) Пусть \( t = \log_2 x \). Тогда уравнение примет вид: \( \frac{1}{t} - 1 = 2t \) Умножим обе части уравнения на \( t \) (при условии \( t \ne 0 \), что означает \( \log_2 x \ne 0 \), то есть \( x \ne 2^0 = 1 \), что уже учтено в ОДЗ): \( 1 - t = 2t^2 \) Перенесем все слагаемые в одну сторону: \( 2t^2 + t - 1 = 0 \) Решим это квадратное уравнение относительно \( t \) с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \) \( t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 3}{4} \) Находим два возможных значения для \( t \): \( t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) \( t_2 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \) Теперь вернемся к замене \( t = \log_2 x \). Случай 1: \( t_1 = \frac{1}{2} \) \( \log_2 x = \frac{1}{2} \) \( x = 2^{\frac{1}{2}} \) \( x = \sqrt{2} \) Случай 2: \( t_2 = -1 \) \( \log_2 x = -1 \) \( x = 2^{-1} \) \( x = \frac{1}{2} \) Оба найденных значения \( x = \sqrt{2} \) и \( x = \frac{1}{2} \) удовлетворяют ОДЗ \( x > 0, x \ne 1 \). Ответ: \( x = \sqrt{2}, x = \frac{1}{2} \). 5. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} \left(\frac{1}{25}\right)^{-y} = 5^{2x+1} \\ \log_3(4y+6x-12) = \lg \log_2 1024 + \log_{27} x^3 \end{cases} \] Решение: Начнем с преобразования каждого уравнения. Первое уравнение: \( \left(\frac{1}{25}\right)^{-y} = 5^{2x+1} \) \( (25)^{-(-y)} = 5^{2x+1} \) \( (5^2)^y = 5^{2x+1} \) \( 5^{2y} = 5^{2x+1} \) Так как основания равны, приравниваем показатели степени: \( 2y = 2x+1 \) \( 2y - 2x = 1 \) (Уравнение 1') Второе уравнение: \( \log_3(4y+6x-12) = \lg \log_2 1024 + \log_{27} x^3 \) Определим ОДЗ для второго уравнения: 1. Выражение под логарифмом по основанию 3: \( 4y+6x-12 > 0 \) 2. Выражение под логарифмом по основанию 2: \( 1024 > 0 \) (это верно) 3. Выражение под логарифмом по основанию 27: \( x^3 > 0 \Rightarrow x > 0 \) Теперь упростим правую часть второго уравнения. Найдем \( \log_2 1024 \): \( 1024 = 2^{10} \), поэтому \( \log_2 1024 = 10 \). Тогда \( \lg \log_2 1024 = \lg 10 \). Помним, что \( \lg \) - это логарифм по основанию 10. \( \lg 10 = 1 \). Теперь упростим \( \log_{27} x^3 \): Используем свойство \( \log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b \). \( \log_{27} x^3 = \log_{3^3} x^3 = \frac{3}{3} \log_3 x = \log_3 x \). Подставим упрощенные выражения во второе уравнение: \( \log_3(4y+6x-12) = 1 + \log_3 x \) Используем свойство \( 1 = \log_3 3 \): \( \log_3(4y+6x-12) = \log_3 3 + \log_3 x \) \( \log_3(4y+6x-12) = \log_3 (3x) \) Так как основания логарифмов равны, приравниваем выражения под логарифмами: \( 4y+6x-12 = 3x \) \( 4y+6x-3x = 12 \) \( 4y+3x = 12 \) (Уравнение 2') Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений: \[ \begin{cases} 2y - 2x = 1 \\ 4y + 3x = 12 \end{cases} \] Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 2, чтобы исключить \( y \): \( 2 \cdot (2y - 2x) = 2 \cdot 1 \) \( 4y - 4x = 2 \) Теперь вычтем это новое уравнение из второго уравнения системы: \( (4y + 3x) - (4y - 4x) = 12 - 2 \) \( 4y + 3x - 4y + 4x = 10 \) \( 7x = 10 \) \( x = \frac{10}{7} \) Теперь подставим значение \( x \) в первое уравнение (1'): \( 2y - 2\left(\frac{10}{7}\right) = 1 \) \( 2y - \frac{20}{7} = 1 \) \( 2y = 1 + \frac{20}{7} \) \( 2y = \frac{7}{7} + \frac{20}{7} \) \( 2y = \frac{27}{7} \) \( y = \frac{27}{7 \cdot 2} \) \( y = \frac{27}{14} \) Проверим найденные значения \( x \) и \( y \) на соответствие ОДЗ. ОДЗ: \( x > 0 \) и \( 4y+6x-12 > 0 \). \( x = \frac{10}{7} \), что больше 0. Это условие выполняется. Проверим \( 4y+6x-12 > 0 \): Мы знаем, что \( 4y+6x-12 = 3x \) из преобразований второго уравнения. Тогда нужно проверить \( 3x > 0 \). \( 3 \cdot \frac{10}{7} = \frac{30}{7} \). \( \frac{30}{7} > 0 \), что верно. Таким образом, найденные значения \( x \) и \( y \) являются решением системы. Ответ: \( x = \frac{10}{7}, y = \frac{27}{14} \).