Вариант 2
1. Решите неравенство \( \log_{\frac{1}{3}}(x+5) \ge -1 \).
Решение:
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма.
Выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля:
\( x+5 > 0 \)
\( x > -5 \)
Теперь решим само неравенство.
Поскольку основание логарифма \( \frac{1}{3} \) находится в интервале \( (0; 1) \), то при отбрасывании логарифма знак неравенства меняется на противоположный.
Представим правую часть как логарифм по основанию \( \frac{1}{3} \):
\( -1 = \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{3} \right)^{-1} = \log_{\frac{1}{3}} 3 \)
Теперь неравенство выглядит так:
\( \log_{\frac{1}{3}}(x+5) \ge \log_{\frac{1}{3}} 3 \)
Отбрасываем логарифмы и меняем знак неравенства:
\( x+5 \le 3 \)
\( x \le 3-5 \)
\( x \le -2 \)
Объединяем полученное решение с ОДЗ:
\( x > -5 \) и \( x \le -2 \)
Получаем интервал:
\( -5 < x \le -2 \)
Ответ: \( (-5; -2] \).
2. Исследуйте функцию \( y = e^x (3x-2) \) на монотонность и экстремумы.
Решение:
Для исследования функции на монотонность и экстремумы необходимо найти первую производную функции и приравнять ее к нулю.
Найдем производную функции \( y = e^x (3x-2) \).
Используем правило производной произведения \( (uv)' = u'v + uv' \), где \( u = e^x \) и \( v = 3x-2 \).
\( u' = (e^x)' = e^x \)
\( v' = (3x-2)' = 3 \)
Тогда производная функции:
\( y' = e^x (3x-2) + e^x \cdot 3 \)
\( y' = e^x (3x-2+3) \)
\( y' = e^x (3x+1) \)
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
\( e^x (3x+1) = 0 \)
Поскольку \( e^x > 0 \) для всех действительных \( x \), то:
\( 3x+1 = 0 \)
\( 3x = -1 \)
\( x = -\frac{1}{3} \)
Теперь определим знаки производной на интервалах, чтобы установить монотонность функции.
Рассмотрим интервалы \( (-\infty; -\frac{1}{3}) \) и \( (-\frac{1}{3}; +\infty) \).
1. Для интервала \( (-\infty; -\frac{1}{3}) \):
Возьмем тестовую точку, например, \( x = -1 \).
\( y'(-1) = e^{-1} (3(-1)+1) = e^{-1} (-3+1) = e^{-1} (-2) = -\frac{2}{e} \)
Поскольку \( y'(-1) < 0 \), функция убывает на интервале \( (-\infty; -\frac{1}{3}) \).
2. Для интервала \( (-\frac{1}{3}; +\infty) \):
Возьмем тестовую точку, например, \( x = 0 \).
\( y'(0) = e^0 (3(0)+1) = 1 \cdot (0+1) = 1 \)
Поскольку \( y'(0) > 0 \), функция возрастает на интервале \( (-\frac{1}{3}; +\infty) \).
В точке \( x = -\frac{1}{3} \) производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума.
Найдем значение функции в этой точке:
\( y\left(-\frac{1}{3}\right) = e^{-\frac{1}{3}} \left(3\left(-\frac{1}{3}\right)-2\right) = e^{-\frac{1}{3}} (-1-2) = -3e^{-\frac{1}{3}} = -\frac{3}{\sqrt[3]{e}} \)
Выводы:
Функция убывает на интервале \( \left(-\infty; -\frac{1}{3}\right] \).
Функция возрастает на интервале \( \left[-\frac{1}{3}; +\infty\right) \).
Точка минимума: \( x_{min} = -\frac{1}{3} \).
Значение функции в точке минимума: \( y_{min} = -\frac{3}{\sqrt[3]{e}} \).
Экстремумов, кроме минимума, нет.
Ответ:
Функция убывает на \( \left(-\infty; -\frac{1}{3}\right] \).
Функция возрастает на \( \left[-\frac{1}{3}; +\infty\right) \).
Точка минимума: \( x = -\frac{1}{3} \), \( y = -\frac{3}{\sqrt[3]{e}} \).
3. Напишите уравнение касательной к графику функции \( y = \ln(2x-5) \) в точке \( x=3 \).
Решение:
Уравнение касательной в точке \( x_0 \) имеет вид:
\( y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \)
где \( x_0 = 3 \).
1. Найдем значение функции в точке \( x_0 = 3 \):
\( y_0 = f(3) = \ln(2 \cdot 3 - 5) = \ln(6 - 5) = \ln(1) = 0 \)
2. Найдем производную функции \( y = \ln(2x-5) \):
Используем правило производной сложной функции \( (\ln(g(x)))' = \frac{g'(x)}{g(x)} \).
\( y' = \frac{(2x-5)'}{2x-5} = \frac{2}{2x-5} \)
3. Найдем значение производной в точке \( x_0 = 3 \):
\( f'(3) = \frac{2}{2 \cdot 3 - 5} = \frac{2}{6 - 5} = \frac{2}{1} = 2 \)
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
\( y - 0 = 2(x - 3) \)
\( y = 2x - 6 \)
Ответ: \( y = 2x - 6 \).
4. Решите уравнение \( \log_x 2 - 1 = 4\log_2 \sqrt{x} \).
Решение:
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для уравнения.
Для \( \log_x 2 \): основание логарифма \( x > 0 \) и \( x \ne 1 \).
Для \( \log_2 \sqrt{x} \): выражение под логарифмом \( \sqrt{x} > 0 \), что означает \( x > 0 \).
Объединяя условия, получаем ОДЗ: \( x > 0, x \ne 1 \).
Теперь преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов.
Используем формулу перехода к новому основанию: \( \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \).
\( \log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x} \)
Используем свойство \( \log_a b^k = k \log_a b \).
\( 4\log_2 \sqrt{x} = 4\log_2 x^{\frac{1}{2}} = 4 \cdot \frac{1}{2} \log_2 x = 2\log_2 x \)
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
\( \frac{1}{\log_2 x} - 1 = 2\log_2 x \)
Сделаем замену переменной. Пусть \( t = \log_2 x \).
\( \frac{1}{t} - 1 = 2t \)
Умножим обе части уравнения на \( t \) (учитывая, что \( t \ne 0 \), так как \( \log_2 x = 0 \) означает \( x=1 \), что исключено из ОДЗ):
\( 1 - t = 2t^2 \)
Перенесем все члены в одну сторону:
\( 2t^2 + t - 1 = 0 \)
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \)
\( t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 3}{4} \)
Находим два значения для \( t \):
\( t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
\( t_2 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \)
Теперь вернемся к замене \( t = \log_2 x \).
Случай 1: \( t_1 = \frac{1}{2} \)
\( \log_2 x = \frac{1}{2} \)
\( x = 2^{\frac{1}{2}} \)
\( x = \sqrt{2} \)
Случай 2: \( t_2 = -1 \)
\( \log_2 x = -1 \)
\( x = 2^{-1} \)
\( x = \frac{1}{2} \)
Оба найденных значения \( x = \sqrt{2} \) и \( x = \frac{1}{2} \) удовлетворяют ОДЗ \( x > 0, x \ne 1 \).
Ответ: \( x_1 = \sqrt{2}, x_2 = \frac{1}{2} \).
5. Решите систему уравнений
\[ \begin{cases} \left(\frac{1}{25}\right)^{-y} = 5^{x+1} \\ \log_3(4y+6x-12) = \lg \log_2 1024 + \log_{27} x^3 \end{cases} \]Решение:
Рассмотрим первое уравнение системы:
\( \left(\frac{1}{25}\right)^{-y} = 5^{x+1} \)
\( (25)^{-(-y)} = 5^{x+1} \)
\( (5^2)^y = 5^{x+1} \)
\( 5^{2y} = 5^{x+1} \)
Поскольку основания равны, приравниваем показатели степени:
\( 2y = x+1 \)
Выразим \( x \) через \( y \):
\( x = 2y-1 \) (Уравнение 1')
Теперь рассмотрим второе уравнение системы:
\( \log_3(4y+6x-12) = \lg \log_2 1024 + \log_{27} x^3 \)
Сначала упростим правую часть.
Найдем \( \log_2 1024 \):
\( 1024 = 2^{10} \), поэтому \( \log_2 1024 = 10 \).
Тогда \( \lg \log_2 1024 = \lg 10 \).
Поскольку \( \lg \) - это логарифм по основанию 10, то \( \lg 10 = 1 \).
Теперь упростим \( \log_{27} x^3 \):
\( \log_{27} x^3 = \log_{3^3} x^3 \)
Используем свойство \( \log_{a^k} b^k = \log_a b \):
\( \log_{3^3} x^3 = \log_3 x \)
Теперь второе уравнение принимает вид:
\( \log_3(4y+6x-12) = 1 + \log_3 x \)
Найдем ОДЗ для второго уравнения:
1. Выражение под логарифмом слева: \( 4y+6x-12 > 0 \)
2. Выражение под логарифмом справа: \( x > 0 \)
Подставим \( x = 2y-1 \) из Уравнения 1' во второе уравнение:
\( \log_3(4y+6(2y-1)-12) = 1 + \log_3 (2y-1) \)
Упростим выражение под логарифмом слева:
\( 4y+12y-6-12 = 16y-18 \)
Теперь уравнение выглядит так:
\( \log_3(16y-18) = 1 + \log_3 (2y-1) \)
Представим 1 как логарифм по основанию 3:
\( 1 = \log_3 3 \)
Тогда:
\( \log_3(16y-18) = \log_3 3 + \log_3 (2y-1) \)
Используем свойство \( \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) \):
\( \log_3(16y-18) = \log_3 (3(2y-1)) \)
\( \log_3(16y-18) = \log_3 (6y-3) \)
Отбрасываем логарифмы:
\( 16y-18 = 6y-3 \)
\( 16y - 6y = -3 + 18 \)
\( 10y = 15 \)
\( y = \frac{15}{10} \)
\( y = \frac{3}{2} \)
Теперь найдем \( x \), используя Уравнение 1':
\( x = 2y-1 = 2 \cdot \frac{3}{2} - 1 = 3 - 1 = 2 \)
Проверим найденные значения \( x=2 \) и \( y=\frac{3}{2} \) на соответствие ОДЗ.
1. \( x > 0 \): \( 2 > 0 \) - верно.
2. \( 4y+6x-12 > 0 \):
\( 4\left(\frac{3}{2}\right) + 6(2) - 12 = 2 \cdot 3 + 12 - 12 = 6 + 12 - 12 = 6 \)
\( 6 > 0 \) - верно.
Оба условия ОДЗ выполнены.
Ответ: \( x=2, y=\frac{3}{2} \).