Решение неравенства log(1/3)(x+5) >= -1

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику.
1. Решите неравенство \( \log_{\frac{1}{3}}(x+5) \ge -1 \). Решение: Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма. Выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля: \( x+5 > 0 \) \( x > -5 \) Теперь решим само неравенство. Поскольку основание логарифма \( \frac{1}{3} \) находится в интервале \( (0; 1) \), то при отбрасывании логарифма знак неравенства меняется на противоположный. Представим правую часть как логарифм по основанию \( \frac{1}{3} \): \( -1 = \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{3} \right)^{-1} = \log_{\frac{1}{3}} 3 \) Теперь неравенство выглядит так: \( \log_{\frac{1}{3}}(x+5) \ge \log_{\frac{1}{3}} 3 \) Отбрасываем логарифмы и меняем знак неравенства: \( x+5 \le 3 \) \( x \le 3-5 \) \( x \le -2 \) Объединяем полученное решение с ОДЗ: \( x > -5 \) и \( x \le -2 \) Таким образом, решением неравенства является интервал: \( -5 < x \le -2 \) Ответ: \( (-5; -2] \).
2. Исследуйте функцию \( y = e^x (3x-2) \) на монотонность и экстремумы. Решение: Для исследования функции на монотонность и экстремумы найдем ее первую производную. Используем правило произведения \( (uv)' = u'v + uv' \), где \( u = e^x \) и \( v = 3x-2 \). \( u' = (e^x)' = e^x \) \( v' = (3x-2)' = 3 \) Тогда производная функции: \( y' = (e^x)'(3x-2) + e^x(3x-2)' \) \( y' = e^x(3x-2) + e^x \cdot 3 \) \( y' = e^x(3x-2+3) \) \( y' = e^x(3x+1) \) Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \( e^x(3x+1) = 0 \) Поскольку \( e^x > 0 \) для всех действительных \( x \), то \( 3x+1 = 0 \). \( 3x = -1 \) \( x = -\frac{1}{3} \) Теперь исследуем знак производной на интервалах, определяемых критической точкой \( x = -\frac{1}{3} \). Интервалы: \( (-\infty; -\frac{1}{3}) \) и \( (-\frac{1}{3}; +\infty) \). 1. Для интервала \( (-\infty; -\frac{1}{3}) \): Возьмем тестовую точку, например, \( x = -1 \). \( y'(-1) = e^{-1}(3(-1)+1) = e^{-1}(-3+1) = e^{-1}(-2) = -\frac{2}{e} \) Поскольку \( y'(-1) < 0 \), функция убывает на интервале \( (-\infty; -\frac{1}{3}) \). 2. Для интервала \( (-\frac{1}{3}; +\infty) \): Возьмем тестовую точку, например, \( x = 0 \). \( y'(0) = e^0(3(0)+1) = 1(0+1) = 1 \) Поскольку \( y'(0) > 0 \), функция возрастает на интервале \( (-\frac{1}{3}; +\infty) \). Изменение знака производной с минуса на плюс в точке \( x = -\frac{1}{3} \) означает, что в этой точке функция имеет локальный минимум. Найдем значение функции в точке минимума: \( y\left(-\frac{1}{3}\right) = e^{-\frac{1}{3}}\left(3\left(-\frac{1}{3}\right)-2\right) = e^{-\frac{1}{3}}(-1-2) = -3e^{-\frac{1}{3}} = -\frac{3}{\sqrt[3]{e}} \) Выводы: Функция убывает на интервале \( \left(-\infty; -\frac{1}{3}\right] \). Функция возрастает на интервале \( \left[-\frac{1}{3}; +\infty\right) \). Функция имеет локальный минимум в точке \( x = -\frac{1}{3} \), значение минимума \( y = -\frac{3}{\sqrt[3]{e}} \). Ответ: Функция убывает на \( \left(-\infty; -\frac{1}{3}\right] \). Функция возрастает на \( \left[-\frac{1}{3}; +\infty\right) \). Точка локального минимума: \( x = -\frac{1}{3} \), \( y_{min} = -\frac{3}{\sqrt[3]{e}} \).
3. Напишите уравнение касательной к графику функции \( y = \ln(2x-5) \) в точке \( x=3 \). Решение: Уравнение касательной к графику функции \( y=f(x) \) в точке \( x_0 \) имеет вид: \( y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \) где \( x_0 = 3 \), \( y_0 = f(x_0) \), а \( f'(x_0) \) - значение производной функции в точке \( x_0 \). 1. Найдем значение функции в точке \( x_0 = 3 \): \( y_0 = f(3) = \ln(2 \cdot 3 - 5) = \ln(6 - 5) = \ln(1) = 0 \) Итак, точка касания \( (3; 0) \). 2. Найдем производную функции \( y = \ln(2x-5) \): Используем правило дифференцирования сложной функции \( (\ln(u))' = \frac{1}{u} \cdot u' \), где \( u = 2x-5 \). \( y' = \frac{1}{2x-5} \cdot (2x-5)' \) \( y' = \frac{1}{2x-5} \cdot 2 \) \( y' = \frac{2}{2x-5} \) 3. Найдем значение производной в точке \( x_0 = 3 \): \( f'(3) = \frac{2}{2 \cdot 3 - 5} = \frac{2}{6 - 5} = \frac{2}{1} = 2 \) 4. Подставим найденные значения в уравнение касательной: \( y - 0 = 2(x - 3) \) \( y = 2x - 6 \) Ответ: Уравнение касательной: \( y = 2x - 6 \).
4. Решите уравнение \( \log_x 2 - 1 = 4 \log_2 \sqrt{x} \). Решение: Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для уравнения. 1. Основание логарифма \( x \) должно быть положительным и не равным 1: \( x > 0 \), \( x \ne 1 \) 2. Выражение под логарифмом \( \sqrt{x} \) должно быть положительным. Поскольку \( x > 0 \), то \( \sqrt{x} > 0 \) выполняется. Теперь преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов. Используем формулу перехода к новому основанию: \( \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \). \( \log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x} \) Также используем свойство \( \log_a b^k = k \log_a b \): \( 4 \log_2 \sqrt{x} = 4 \log_2 x^{\frac{1}{2}} = 4 \cdot \frac{1}{2} \log_2 x = 2 \log_2 x \) Подставим эти выражения в исходное уравнение: \( \frac{1}{\log_2 x} - 1 = 2 \log_2 x \) Пусть \( t = \log_2 x \). Тогда уравнение примет вид: \( \frac{1}{t} - 1 = 2t \) Умножим обе части уравнения на \( t \) (при этом \( t \ne 0 \), что означает \( \log_2 x \ne 0 \), то есть \( x \ne 2^0 = 1 \), что уже учтено в ОДЗ): \( 1 - t = 2t^2 \) Перенесем все слагаемые в одну сторону: \( 2t^2 + t - 1 = 0 \) Решим квадратное уравнение относительно \( t \) с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \) \( t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \) \( t_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \) \( t_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) Теперь вернемся к замене \( t = \log_2 x \): Случай 1: \( t_1 = -1 \) \( \log_2 x = -1 \) \( x = 2^{-1} \) \( x = \frac{1}{2} \) Это значение удовлетворяет ОДЗ \( x > 0, x \ne 1 \). Случай 2: \( t_2 = \frac{1}{2} \) \( \log_2 x = \frac{1}{2} \) \( x = 2^{\frac{1}{2}} \) \( x = \sqrt{2} \) Это значение также удовлетворяет ОДЗ \( x > 0, x \ne 1 \). Ответ: \( x = \frac{1}{2} \), \( x = \sqrt{2} \).
5. Решите систему уравнений \[ \begin{cases} \left(\frac{1}{25}\right)^{-y} = 5^{x+1} \\ \log_3(4y+6x-12) = \lg \log_2 1024 + \log_{27} x^3 \end{cases} \] Решение: Рассмотрим первое уравнение системы: \( \left(\frac{1}{25}\right)^{-y} = 5^{x+1} \) Представим \( \frac{1}{25} \) как степень числа 5: \( \frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2} \). Тогда уравнение примет вид: \( (5^{-2})^{-y} = 5^{x+1} \) \( 5^{2y} = 5^{x+1} \) Поскольку основания равны, приравниваем показатели степеней: \( 2y = x+1 \) Выразим \( x \) через \( y \): \( x = 2y-1 \) (Уравнение 1') Теперь рассмотрим второе уравнение системы: \( \log_3(4y+6x-12) = \lg \log_2 1024 + \log_{27} x^3 \) Сначала упростим правую часть. 1. \( \log_2 1024 \): \( 1024 = 2^{10} \), поэтому \( \log_2 1024 = 10 \). 2. \( \lg \log_2 1024 = \lg 10 \). Поскольку \( \lg \) - это логарифм по основанию 10, то \( \lg 10 = 1 \). 3. \( \log_{27} x^3 \): Представим основание 27 как степень числа 3: \( 27 = 3^3 \). Используем свойство \( \log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b \): \( \log_{27} x^3 = \log_{3^3} x^3 = \frac{3}{3} \log_3 x = \log_3 x \) Теперь второе уравнение примет вид: \( \log_3(4y+6x-12) = 1 + \log_3 x \) Найдем ОДЗ для второго уравнения: 1. Выражение под логарифмом слева должно быть положительным: \( 4y+6x-12 > 0 \) 2. Выражение под логарифмом справа должно быть положительным: \( x > 0 \) Подставим \( x = 2y-1 \) из Уравнения 1' во второе уравнение: \( \log_3(4y+6(2y-1)-12) = 1 + \log_3 (2y-1) \) Упростим выражение под логарифмом слева: \( 4y+12y-6-12 = 16y-18 \) Теперь уравнение выглядит так: \( \log_3(16y-18) = 1 + \log_3 (2y-1) \) Перенесем \( \log_3 (2y-1) \) в левую часть: \( \log_3(16y-18) - \log_3 (2y-1) = 1 \) Используем свойство \( \log_a M - \log_a N = \log_a \frac{M}{N} \): \( \log_3 \left(\frac{16y-18}{2y-1}\right) = 1 \) Представим 1 как логарифм по основанию 3: \( 1 = \log_3 3 \). \( \log_3 \left(\frac{16y-18}{2y-1}\right) = \log_3 3 \) Отбрасываем логарифмы: \( \frac{16y-18}{2y-1} = 3 \) Теперь решим это уравнение относительно \( y \). Умножим обе части на \( (2y-1) \). При этом \( 2y-1 \ne 0 \), то есть \( y \ne \frac{1}{2} \). \( 16y-18 = 3(2y-1) \) \( 16y-18 = 6y-3 \) \( 16y-6y = -3+18 \) \( 10y = 15 \) \( y = \frac{15}{10} \) \( y = \frac{3}{2} \) Теперь найдем \( x \), используя Уравнение 1': \( x = 2y-1 \) \( x = 2 \cdot \frac{3}{2} - 1 \) \( x = 3 - 1 \) \( x = 2 \) Проверим полученные значения \( x=2 \) и \( y=\frac{3}{2} \) на соответствие ОДЗ. 1. \( x > 0 \): \( 2 > 0 \) - верно. 2. \( 2y-1 > 0 \): \( 2 \cdot \frac{3}{2} - 1 = 3-1 = 2 > 0 \) - верно. 3. \( 4y+6x-12 > 0 \): \( 4 \cdot \frac{3}{2} + 6 \cdot 2 - 12 = 6 + 12 - 12 = 6 \) \( 6 > 0 \) - верно. Все условия ОДЗ выполнены. Ответ: \( x=2 \), \( y=\frac{3}{2} \).