Решение задачи: перпендикулярность плоскостей в тетраэдре

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. Вариант 1 Дано: тетраэдр LMNP. Ребро LM перпендикулярно плоскости MPN. 1) Докажите, что плоскости LMN и MNP перпендикулярны. Решение: По условию, ребро LM перпендикулярно плоскости MPN. Плоскость MNP содержит прямую MN. Так как LM перпендикулярно плоскости MPN, то LM перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, LM перпендикулярно MN. Прямая MN является линией пересечения плоскостей LMN и MNP. В плоскости LMN прямая LM перпендикулярна линии пересечения MN. По признаку перпендикулярности плоскостей, если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны. Или, более точно: если прямая, лежащая в одной плоскости, перпендикулярна линии пересечения этих плоскостей, и эта прямая перпендикулярна другой плоскости, то плоскости перпендикулярны. В нашем случае, прямая LM лежит в плоскости LMN. Прямая LM перпендикулярна плоскости MNP. Следовательно, плоскость LMN перпендикулярна плоскости MNP. Что и требовалось доказать. 2) Найдите двугранные углы LMPN, NLMP, если треугольник MPN равносторонний. Решение: а) Найдем двугранный угол LMPN. Линия пересечения плоскостей LMP и MPN – это прямая MP. По условию, LM перпендикулярно плоскости MPN. Следовательно, LM перпендикулярно любой прямой в плоскости MPN, в том числе и прямой MP. Таким образом, LM является перпендикуляром к линии пересечения MP, лежащим в плоскости LMP. В плоскости MPN, так как LM перпендикулярно плоскости MPN, то угол между LM и любой прямой в плоскости MPN, проходящей через точку M, будет прямым. Рассмотрим прямую MP, лежащую в плоскости MPN. Угол между ребром LM и прямой MP равен \(90^\circ\). Для нахождения двугранного угла LMPN нам нужно найти угол между перпендикулярами к линии пересечения MP, проведенными в каждой из плоскостей. В плоскости LMP, LM перпендикулярно MP. В плоскости MPN, так как LM перпендикулярно плоскости MPN, то любая прямая, проходящая через M и лежащая в плоскости MPN, будет перпендикулярна LM. Однако, для определения двугранного угла, нам нужен перпендикуляр к MP в плоскости MPN. Пусть MK – высота треугольника MPN, проведенная к стороне MP. Тогда MK перпендикулярно MP. Угол между LM и MK будет углом между плоскостями LMP и MPN. Но LM перпендикулярно плоскости MPN, а значит, LM перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и MK. Следовательно, угол между LM и MK равен \(90^\circ\). Таким образом, двугранный угол LMPN равен \(90^\circ\). б) Найдем двугранный угол NLMP. Линия пересечения плоскостей NLM и LMP – это прямая LM. По условию, LM перпендикулярно плоскости MPN. Следовательно, LM перпендикулярно MN и LM перпендикулярно MP. MN лежит в плоскости NLM. MP лежит в плоскости LMP. Угол между MN и MP – это угол NMP. Так как треугольник MPN равносторонний, то все его углы равны \(60^\circ\). Следовательно, угол NMP равен \(60^\circ\). Угол между перпендикулярами к линии пересечения LM, проведенными в каждой из плоскостей, и будет двугранным углом. В плоскости NLM, MN перпендикулярно LM. В плоскости LMP, MP перпендикулярно LM. Следовательно, угол между плоскостями NLM и LMP – это угол между прямыми MN и MP, то есть угол NMP. Двугранный угол NLMP равен углу NMP. Так как треугольник MPN равносторонний, то угол NMP равен \(60^\circ\). Таким образом, двугранный угол NLMP равен \(60^\circ\). Ответ: Двугранный угол LMPN равен \(90^\circ\), двугранный угол NLMP равен \(60^\circ\). 3) Найдите двугранный угол LNPM, если NP=10, LP=\(5\sqrt{7}\). Решение: Линия пересечения плоскостей LNP и MNP – это прямая NP. Для нахождения двугранного угла LNPM нам нужно провести перпендикуляры к линии NP в каждой из плоскостей. Пусть K – точка на NP такая, что LK перпендикулярно NP. Пусть H – точка на NP такая, что MH перпендикулярно NP. Тогда угол LKH будет искомым двугранным углом. Рассмотрим треугольник MPN. Он равносторонний, NP=10. Высота MH в равностороннем треугольнике MPN, проведенная к стороне NP, равна: \[MH = NP \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\] Так как LM перпендикулярно плоскости MPN, то LM перпендикулярно MH. Рассмотрим прямоугольный треугольник LMN. LM перпендикулярно MN. Рассмотрим прямоугольный треугольник LMP. LM перпендикулярно MP. Найдем длину LM. В треугольнике LNP известны стороны NP=10 и LP=\(5\sqrt{7}\). В треугольнике MNP, MP=NP=MN=10. В прямоугольном треугольнике LMP: \[LP^2 = LM^2 + MP^2\] \[(5\sqrt{7})^2 = LM^2 + 10^2\] \[25 \cdot 7 = LM^2 + 100\] \[175 = LM^2 + 100\] \[LM^2 = 175 - 100\] \[LM^2 = 75\] \[LM = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}\] Теперь найдем двугранный угол LNPM. Проведем высоту MH в треугольнике MNP к стороне NP. MH перпендикулярно NP. MH = \(5\sqrt{3}\). Проведем высоту LK в треугольнике LNP к стороне NP. В треугольнике LNP, NP=10, LP=\(5\sqrt{7}\). Так как LM перпендикулярно плоскости MPN, то LM перпендикулярно MH. Рассмотрим треугольник LMH. Он прямоугольный с прямым углом M. Гипотенуза LH. \[LH^2 = LM^2 + MH^2\] \[LH^2 = (5\sqrt{3})^2 + (5\sqrt{3})^2\] \[LH^2 = 75 + 75\] \[LH^2 = 150\] \[LH = \sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6}\] Теперь у нас есть треугольник LKH. LK перпендикулярно NP. MH перпендикулярно NP. Угол LKH – это искомый двугранный угол. В треугольнике LNP, LK – высота к стороне NP. В равностороннем треугольнике MNP, MH – высота к стороне NP, а также медиана. Значит, H – середина NP. Так как MH перпендикулярно NP, и LK перпендикулярно NP, то MH и LK параллельны, если они лежат в одной плоскости. Но они не лежат в одной плоскости. Однако, H – середина NP. В треугольнике LNP, если K – основание высоты LK, то K не обязательно совпадает с H. Но так как LM перпендикулярно плоскости MPN, то проекция точки L на плоскость MPN – это точка M. Тогда LK – это наклонная к плоскости MPN, а MK – ее проекция. Если LK перпендикулярно NP, то по теореме о трех перпендикулярах, MK также перпендикулярно NP. Так как MH – высота в равностороннем треугольнике MNP к стороне NP, то MH перпендикулярно NP. Поскольку из точки M к прямой NP можно провести только один перпендикуляр, то точка K совпадает с точкой H. Значит, LK и MH – это перпендикуляры к NP, проведенные из L и M соответственно, и K=H. Тогда искомый двугранный угол – это угол LHM. Рассмотрим прямоугольный треугольник LMH. LM перпендикулярно MH. LM = \(5\sqrt{3}\). MH = \(5\sqrt{3}\). Треугольник LMH – прямоугольный и равнобедренный. Следовательно, углы при гипотенузе равны \(45^\circ\). Угол LHM равен \(45^\circ\). Ответ: Двугранный угол LNPM равен \(45^\circ\).