Задача 2.
Дано:
\(b_1, b_2, b_3, b_4\) - геометрическая прогрессия.
\(a_1 = b_1 + 10\)
\(a_2 = b_2 + 11\)
\(a_3 = b_3 + 9\)
\(a_4 = b_4 + 11\)
\(a_1, a_2, a_3, a_4\) - арифметическая прогрессия.
Найти: \(b_1, b_2, b_3, b_4\).
Решение:
1. Запишем свойства геометрической прогрессии:
\(b_2 = b_1 \cdot q\)
\(b_3 = b_1 \cdot q^2\)
\(b_4 = b_1 \cdot q^3\)
где \(q\) - знаменатель геометрической прогрессии.
2. Запишем свойства арифметической прогрессии:
\(a_2 - a_1 = d\)
\(a_3 - a_2 = d\)
\(a_4 - a_3 = d\)
где \(d\) - разность арифметической прогрессии.
Из этого следует, что:
\(a_2 - a_1 = a_3 - a_2 \Rightarrow 2a_2 = a_1 + a_3\)
\(a_3 - a_2 = a_4 - a_3 \Rightarrow 2a_3 = a_2 + a_4\)
3. Подставим выражения для \(a_1, a_2, a_3, a_4\) в уравнения для арифметической прогрессии:
Первое уравнение: \(2(b_2 + 11) = (b_1 + 10) + (b_3 + 9)\)
\(2b_2 + 22 = b_1 + b_3 + 19\)
\(2b_2 - b_1 - b_3 = 19 - 22\)
\(2b_2 - b_1 - b_3 = -3\) (Уравнение 1)
Второе уравнение: \(2(b_3 + 9) = (b_2 + 11) + (b_4 + 11)\)
\(2b_3 + 18 = b_2 + b_4 + 22\)
\(2b_3 - b_2 - b_4 = 22 - 18\)
\(2b_3 - b_2 - b_4 = 4\) (Уравнение 2)
4. Подставим выражения для \(b_2, b_3, b_4\) через \(b_1\) и \(q\) в Уравнение 1 и Уравнение 2:
Из Уравнения 1:
\(2(b_1 q) - b_1 - (b_1 q^2) = -3\)
\(b_1 (2q - 1 - q^2) = -3\)
\(b_1 (-(q^2 - 2q + 1)) = -3\)
\(b_1 (-(q-1)^2) = -3\)
\(b_1 (q-1)^2 = 3\) (Уравнение 3)
Из Уравнения 2:
\(2(b_1 q^2) - (b_1 q) - (b_1 q^3) = 4\)
\(b_1 (2q^2 - q - q^3) = 4\)
\(b_1 (-q(q^2 - 2q + 1)) = 4\)
\(b_1 (-q(q-1)^2) = 4\) (Уравнение 4)
5. Разделим Уравнение 4 на Уравнение 3:
\(\frac{b_1 (-q(q-1)^2)}{b_1 (q-1)^2} = \frac{4}{3}\)
Предположим, что \(q \neq 1\). Если \(q=1\), то \(b_1(1-1)^2 = 0 \neq 3\), значит \(q \neq 1\).
\(-q = \frac{4}{3}\)
\(q = -\frac{4}{3}\)
6. Найдем \(b_1\), подставив значение \(q\) в Уравнение 3:
\(b_1 \left(-\frac{4}{3} - 1\right)^2 = 3\)
\(b_1 \left(-\frac{4}{3} - \frac{3}{3}\right)^2 = 3\)
\(b_1 \left(-\frac{7}{3}\right)^2 = 3\)
\(b_1 \cdot \frac{49}{9} = 3\)
\(b_1 = \frac{3 \cdot 9}{49}\)
\(b_1 = \frac{27}{49}\)
7. Найдем остальные члены геометрической прогрессии:
\(b_2 = b_1 \cdot q = \frac{27}{49} \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{9 \cdot (-4)}{49} = -\frac{36}{49}\)
\(b_3 = b_1 \cdot q^2 = \frac{27}{49} \cdot \left(-\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{27}{49} \cdot \frac{16}{9} = \frac{3 \cdot 16}{49} = \frac{48}{49}\)
\(b_4 = b_1 \cdot q^3 = \frac{27}{49} \cdot \left(-\frac{4}{3}\right)^3 = \frac{27}{49} \cdot \left(-\frac{64}{27}\right) = -\frac{64}{49}\)
Проверка (необязательно для записи в тетрадь, но полезно для себя):
Найдем члены арифметической прогрессии:
\(a_1 = b_1 + 10 = \frac{27}{49} + 10 = \frac{27 + 490}{49} = \frac{517}{49}\)
\(a_2 = b_2 + 11 = -\frac{36}{49} + 11 = \frac{-36 + 539}{49} = \frac{503}{49}\)
\(a_3 = b_3 + 9 = \frac{48}{49} + 9 = \frac{48 + 441}{49} = \frac{489}{49}\)
\(a_4 = b_4 + 11 = -\frac{64}{49} + 11 = \frac{-64 + 539}{49} = \frac{475}{49}\)
Проверим разность арифметической прогрессии:
\(d_1 = a_2 - a_1 = \frac{503}{49} - \frac{517}{49} = -\frac{14}{49}\)
\(d_2 = a_3 - a_2 = \frac{489}{49} - \frac{503}{49} = -\frac{14}{49}\)
\(d_3 = a_4 - a_3 = \frac{475}{49} - \frac{489}{49} = -\frac{14}{49}\)
Разности равны, значит, вычисления верны.
Ответ:
\(b_1 = \frac{27}{49}\)
\(b_2 = -\frac{36}{49}\)
\(b_3 = \frac{48}{49}\)
\(b_4 = -\frac{64}{49}\)