Решение задачи: Определитель матрицы 3x3, найти k

Решим задачу. Нам дан определитель матрицы 3x3 и его значение. Нужно найти значение \(k\). Матрица выглядит так: \[ \begin{vmatrix} 5 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & -2 \\ 1 & 5 & k \end{vmatrix} \] И известно, что этот определитель равен 55. Для вычисления определителя матрицы 3x3 можно использовать правило Саррюса (правило треугольников) или разложение по строке/столбцу. Воспользуемся правилом Саррюса. Определитель вычисляется по формуле: \( \text{det}(A) = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}) \) Подставим значения из нашей матрицы: \( a_{11} = 5, a_{12} = 3, a_{13} = 4 \) \( a_{21} = 3, a_{22} = 4, a_{23} = -2 \) \( a_{31} = 1, a_{32} = 5, a_{33} = k \) Теперь подставим эти значения в формулу: \( \text{det}(A) = 5 \cdot (4 \cdot k - (-2) \cdot 5) - 3 \cdot (3 \cdot k - (-2) \cdot 1) + 4 \cdot (3 \cdot 5 - 4 \cdot 1) \) Упростим выражения в скобках: \( 4 \cdot k - (-2) \cdot 5 = 4k - (-10) = 4k + 10 \) \( 3 \cdot k - (-2) \cdot 1 = 3k - (-2) = 3k + 2 \) \( 3 \cdot 5 - 4 \cdot 1 = 15 - 4 = 11 \) Теперь подставим упрощенные выражения обратно в формулу определителя: \( \text{det}(A) = 5 \cdot (4k + 10) - 3 \cdot (3k + 2) + 4 \cdot (11) \) Раскроем скобки: \( \text{det}(A) = 20k + 50 - 9k - 6 + 44 \) Сгруппируем члены с \(k\) и свободные члены: \( \text{det}(A) = (20k - 9k) + (50 - 6 + 44) \) \( \text{det}(A) = 11k + (44 + 44) \) \( \text{det}(A) = 11k + 88 \) Нам дано, что определитель равен 55. Значит, мы можем составить уравнение: \( 11k + 88 = 55 \) Теперь решим это уравнение относительно \(k\): Вычтем 88 из обеих частей уравнения: \( 11k = 55 - 88 \) \( 11k = -33 \) Разделим обе части уравнения на 11: \( k = \frac{-33}{11} \) \( k = -3 \) Ответ: При \(k = -3\) определитель матрицы равен 55.