Решение задачи: Исследование зависимости давления и объема газа

Хорошо, давайте решим эту задачу по физике. 10 класс Исследование зависимости между параметрами состояния разреженного газа Цель работы: экспериментально проверить зависимость между давлением и объёмом газа (на примере воздуха) при изотермическом процессе. Оборудование и материалы: мензурка с водой комнатной температуры, термометр, стеклянная трубка, запаянная с одного конца, линейка, барометр. Цена деления линейки, мензурки, термометра, барометра: (эти данные не указаны в задаче, поэтому мы их не используем, но в реальном эксперименте их нужно было бы определить). Записать формулы, рисунок, таблица, вычисления, вывод. Ход работы: 1. Налейте в мензурку воду и дайте ей отстояться. С помощью термометра либо датчика температуры убедитесь, что вода в мензурке комнатной температуры. 2. С помощью барометра определите атмосферное давление \(p_1\). Начальное давление воздуха в трубке равно атмосферному давлению \(p_1\). Из рисунка видно, что \(p_1 = 102000\) Па. 3. Возьмите стеклянную трубку и измерьте её длину \(l_1\). Начальное давление воздуха в ней будет равно атмосферному давлению \(p_1\). Из рисунка видно, что \(l_1 = 50\) см. 4. Аккуратно опустите трубку в мензурку с водой открытым концом вниз. Пронаблюдайте, как в трубку заходит вода. Когда столбик воды в трубке остановится, измерьте его высоту \(h_2\). Из рисунка видно, что \(h_2 = 9,5\) см. Также дано \(h_1 = 12\) см, \(l_2 = 49,5\) см. Плотность воды \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\). Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\). Теперь переходим к вопросам и расчетам: 5. Рассчитайте высоту воздуха в трубке: \(l_2 = l_1 - h_2\). Высота столба воздуха в трубке после погружения: \(l_2 = l_1 - h_2\) \(l_2 = 50 \text{ см} - 9,5 \text{ см}\) \(l_2 = 40,5 \text{ см}\) 6. Измерьте высоту столба жидкости \(h_1\). Из рисунка видно, что \(h_1 = 12\) см. 7. Сфотографируйте своё лабораторное оборудование. (Это действие, которое нужно выполнить в реальном эксперименте, здесь мы его пропускаем). 8. Рассчитайте давление воздуха в трубке: \(p_2 = p_1 + \rho g h_1\). Давление воздуха в трубке после погружения: \(p_2 = p_1 + \rho g h_1\) Переведем \(h_1\) в метры: \(h_1 = 12 \text{ см} = 0,12 \text{ м}\). \(p_2 = 102000 \text{ Па} + 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0,12 \text{ м}\) \(p_2 = 102000 \text{ Па} + 1200 \text{ Па}\) \(p_2 = 103200 \text{ Па}\) 9. Рассчитайте отношение: \(p_2 / p_1 = ?\) \(p_2 / p_1 = 103200 \text{ Па} / 102000 \text{ Па}\) \(p_2 / p_1 \approx 1,01176\) 10. Рассчитайте отношение: \(l_1 / l_2 = ?\) Переведем \(l_1\) и \(l_2\) в метры или оставим в сантиметрах, так как это отношение. \(l_1 = 50 \text{ см}\) \(l_2 = 40,5 \text{ см}\) \(l_1 / l_2 = 50 \text{ см} / 40,5 \text{ см}\) \(l_1 / l_2 \approx 1,23457\) 11. Верно ли равенство: \(p_2 p_1 = l_1 l_2\)? Это равенство записано неверно. Согласно закону Бойля-Мариотта для изотермического процесса, произведение давления на объем газа постоянно: \(p V = \text{const}\). В данном случае, объем газа в трубке пропорционален его длине (если площадь поперечного сечения трубки постоянна). То есть \(V_1 = S \cdot l_1\) и \(V_2 = S \cdot l_2\), где \(S\) - площадь поперечного сечения трубки. Тогда должно выполняться равенство: \(p_1 V_1 = p_2 V_2\), или \(p_1 S l_1 = p_2 S l_2\). Сокращая \(S\), получаем: \(p_1 l_1 = p_2 l_2\). Проверим это равенство: \(p_1 l_1 = 102000 \text{ Па} \cdot 50 \text{ см} = 5100000 \text{ Па} \cdot \text{см}\) \(p_2 l_2 = 103200 \text{ Па} \cdot 40,5 \text{ см} = 4179600 \text{ Па} \cdot \text{см}\) Очевидно, что \(p_1 l_1 \neq p_2 l_2\). Давайте перепроверим условие \(p_2 = p_1 + \rho g h_1\). Это давление столба воды над уровнем воды в мензурке. Однако, в данном эксперименте, давление воздуха в трубке \(p_2\) должно быть равно атмосферному давлению \(p_1\) плюс давление столба воды, который находится *над уровнем воды в мензурке* и *внутри трубки*. На рисунке \(h_1\) - это высота столба воды в трубке над уровнем воды в мензурке. Давление воздуха в трубке \(p_2\) равно атмосферному давлению \(p_1\) минус давление столба воды \(h_1\), если трубка погружена в воду. Но в данном случае, трубка запаяна с одного конца и погружена открытым концом вниз. Воздух внутри трубки сжимается. Давление воздуха в трубке \(p_2\) равно атмосферному давлению \(p_1\) плюс давление столба воды \(h_1\), если уровень воды в трубке ниже уровня воды в мензурке. На рисунке видно, что уровень воды в трубке выше уровня воды в мензурке. Тогда давление воздуха в трубке \(p_2\) равно атмосферному давлению \(p_1\) минус давление столба воды высотой \(h_1\). То есть, \(p_2 = p_1 - \rho g h_1\). Давайте пересчитаем \(p_2\) с учетом этого: \(p_2 = 102000 \text{ Па} - 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0,12 \text{ м}\) \(p_2 = 102000 \text{ Па} - 1200 \text{ Па}\) \(p_2 = 100800 \text{ Па}\) Теперь проверим равенство \(p_1 l_1 = p_2 l_2\) с новым значением \(p_2\): \(p_1 l_1 = 102000 \text{ Па} \cdot 50 \text{ см} = 5100000 \text{ Па} \cdot \text{см}\) \(p_2 l_2 = 100800 \text{ Па} \cdot 40,5 \text{ см} = 4082400 \text{ Па} \cdot \text{см}\) Равенство все равно не выполняется. Возможно, в задаче допущена ошибка в формуле для \(p_2\). Формула \(p_2 = p_1 + \rho g h_1\) обычно используется, когда давление внутри трубки больше атмосферного. Давайте внимательно посмотрим на рисунок. \(l_1\) - общая длина трубки. \(l_2\) - длина столба воздуха в трубке после погружения. \(h_2\) - высота столба воды в трубке. \(h_1\) - высота столба воды в мензурке над уровнем воды в трубке. Если \(h_1\) - это разница уровней воды внутри трубки и снаружи (в мензурке), то: Давление воздуха внутри трубки \(p_2\) плюс давление столба воды \(h_1\) (если уровень воды в трубке ниже уровня воды в мензурке) равно атмосферному давлению \(p_1\). То есть, \(p_2 + \rho g h_1 = p_1\), откуда \(p_2 = p_1 - \rho g h_1\). Если же \(h_1\) - это высота столба воды в мензурке над уровнем воды в трубке, как показано на рисунке, то давление воздуха в трубке \(p_2\) равно атмосферному давлению \(p_1\) минус давление столба воды высотой \(h_1\). То есть, \(p_2 = p_1 - \rho g h_1\). Но в условии задачи явно указана формула \(p_2 = p_1 + \rho g h_1\). Давайте использовать её, как указано в задаче, даже если она кажется противоречивой с рисунком. Возможно, \(h_1\) на рисунке обозначает что-то другое, или рисунок не совсем точно отражает ситуацию для данной формулы. Если мы используем формулу из задачи: \(p_2 = p_1 + \rho g h_1\) \(p_2 = 102000 \text{ Па} + 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0,12 \text{ м}\) \(p_2 = 102000 \text{ Па} + 1200 \text{ Па}\) \(p_2 = 103200 \text{ Па}\) Теперь проверим равенство \(p_1 l_1 = p_2 l_2\) с этим значением \(p_2\): \(p_1 l_1 = 102000 \text{ Па} \cdot 50 \text{ см} = 5100000 \text{ Па} \cdot \text{см}\) \(p_2 l_2 = 103200 \text{ Па} \cdot 40,5 \text{ см} = 4179600 \text{ Па} \cdot \text{см}\) Равенство \(p_1 l_1 = p_2 l_2\) не выполняется. Давайте еще раз посмотрим на пункт 11: "Верно ли равенство: \(p_2 p_1 = l_1 l_2\)". Это точно опечатка. Должно быть \(p_1 l_1 = p_2 l_2\). Если же мы должны проверить именно \(p_2 p_1 = l_1 l_2\), то: \(p_2 p_1 = 103200 \text{ Па} \cdot 102000 \text{ Па} = 10526400000 \text{ Па}^2\) \(l_1 l_2 = 50 \text{ см} \cdot 40,5 \text{ см} = 2025 \text{ см}^2\) Очевидно, что это равенство неверно. Предположим, что в пункте 11 имелось в виду \(p_1 / p_2 = l_2 / l_1\) или \(p_1 l_1 = p_2 l_2\). Давайте проверим отношение \(p_1 / p_2\) и \(l_2 / l_1\). \(p_1 / p_2 = 102000 \text{ Па} / 103200 \text{ Па} \approx 0,98837\) \(l_2 / l_1 = 40,5 \text{ см} / 50 \text{ см} = 0,81\) Эти значения не равны. Возможно, в задаче есть ошибка в данных или в формуле для \(p_2\). Если бы \(p_1 l_1 = p_2 l_2\) было верным, то: \(p_1 / p_2 = l_2 / l_1\). Мы получили \(p_1 / p_2 \approx 0,98837\) и \(l_2 / l_1 = 0,81\). Эти значения сильно отличаются. Давайте еще раз перепроверим, что такое \(h_1\) и \(h_2\). \(l_1\) - общая длина трубки. \(h_2\) - высота столба воды в трубке. \(l_2\) - высота столба воздуха в трубке. \(l_2 = l_1 - h_2\). Это мы рассчитали в пункте 5. \(h_1\) - высота столба воды в мензурке над уровнем воды в трубке. Если уровень воды в трубке ниже уровня воды в мензурке, то давление воздуха в трубке \(p_2\) равно атмосферному давлению \(p_1\) плюс давление столба воды \(h_1\). Это соответствует формуле \(p_2 = p_1 + \rho g h_1\). На рисунке же уровень воды в трубке *выше* уровня воды в мензурке. В этом случае давление воздуха в трубке \(p_2\) должно быть равно атмосферному давлению \(p_1\) минус давление столба воды \(h_1\). Если мы будем следовать рисунку, то \(p_2 = p_1 - \rho g h_1\). \(p_2 = 102000 \text{ Па} - 1200 \text{ Па} = 100800 \text{ Па}\). Тогда \(p_1 l_1 = 102000 \cdot 50 = 5100000\). \(p_2 l_2 = 100800 \cdot 40,5 = 4082400\). Равенство \(p_1 l_1 = p_2 l_2\) все равно не выполняется. Возможно, \(h_1\) на рисунке - это высота столба воды в мензурке, а не разница уровней. Но это нелогично для расчета давления. Давайте предположим, что формула \(p_2 = p_1 + \rho g h_1\) верна, и рисунок не совсем точно отражает ситуацию, или \(h_1\) на рисунке - это не та \(h_1\), которая используется в формуле. В таком случае, мы используем данные и формулы, предоставленные в задаче. Итак, вернемся к пункту 11, предполагая, что имелось в виду \(p_1 l_1 = p_2 l_2\). \(p_1 l_1 = 5100000 \text{ Па} \cdot \text{см}\) \(p_2 l_2 = 4179600 \text{ Па} \cdot \text{см}\) Эти значения не равны. Следовательно, равенство \(p_1 l_1 = p_2 l_2\) не выполняется с данными из задачи. Если же мы должны проверить именно \(p_2 p_1 = l_1 l_2\), то оно тем более неверно. Вывод: Равенство \(p_1 l_1 = p_2 l_2\) (закон Бойля-Мариотта) не выполняется с данными, полученными из задачи, если использовать формулу \(p_2 = p_1 + \rho g h_1\). Это может быть связано с ошибками в измерениях, неточностью рисунка или неверной формулой для \(p_2\), указанной в задаче. 12. Вывод: В ходе выполнения лабораторной работы были измерены начальная длина столба воздуха \(l_1 = 50 \text{ см}\) и начальное давление \(p_1 = 102000 \text{ Па}\). После погружения трубки в воду, высота столба воды в трубке составила \(h_2 = 9,5 \text{ см}\), а высота столба воды в мензурке над уровнем воды в трубке \(h_1 = 12 \text{ см}\). Были рассчитаны: Высота столба воздуха в трубке после погружения: \(l_2 = l_1 - h_2 = 50 \text{ см} - 9,5 \text{ см} = 40,5 \text{ см}\). Давление воздуха в трубке после погружения, используя формулу из задачи \(p_2 = p_1 + \rho g h_1\): \(p_2 = 102000 \text{ Па} + 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0,12 \text{ м} = 103200 \text{ Па}\). Отношение давлений: \(p_2 / p_1 \approx 1,01176\). Отношение длин столбов воздуха: \(l_1 / l_2 \approx 1,23457\). Проверка закона Бойля-Мариотта \(p_1 l_1 = p_2 l_2\) показала, что \(5100000 \text{ Па} \cdot \text{см} \neq 4179600 \text{ Па} \cdot \text{см}\). Таким образом, равенство \(p_1 l_1 = p_2 l_2\) не подтверждается экспериментальными данными, полученными из условий задачи. Это может быть связано с неточностью исходных данных, формулы для \(p_2\) или погрешностями измерений. --- Для удобства переписывания в тетрадь: 10 класс Лабораторная работа: Исследование зависимости между параметрами состояния разреженного газа Цель работы: экспериментально проверить зависимость между давлением и объёмом газа (на примере воздуха) при изотермическом процессе. Оборудование и материалы: мензурка с водой комнатной температуры, термометр, стеклянная трубка, запаянная с одного конца, линейка, барометр. Ход работы и измерения: 1. Начальное атмосферное давление: \(p_1 = 102000 \text{ Па}\). 2. Длина стеклянной трубки: \(l_1 = 50 \text{ см}\). 3. Высота столба воды в трубке после погружения: \(h_2 = 9,5 \text{ см}\). 4. Высота столба воды в мензурке над уровнем воды в трубке: \(h_1 = 12 \text{ см}\). 5. Плотность воды: \(\rho = 1000 \text{ кг/м}^3\). 6. Ускорение свободного падения: \(g = 10 \text{ м/с}^2\). Расчеты: 1. Расчет высоты столба воздуха в трубке после погружения: Формула: \(l_2 = l_1 - h_2\) \(l_2 = 50 \text{ см} - 9,5 \text{ см} = 40,5 \text{ см}\) 2. Расчет давления воздуха в трубке после погружения: Формула: \(p_2 = p_1 + \rho g h_1\) Переведем \(h_1\) в метры: \(h_1 = 12 \text{ см} = 0,12 \text{ м}\). \(p_2 = 102000 \text{ Па} + 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0,12 \text{ м}\) \(p_2 = 102000 \text{ Па} + 1200 \text{ Па}\) \(p_2 = 103200 \text{ Па}\) 3. Расчет отношения давлений: \(p_2 / p_1 = 103200 \text{ Па} / 102000 \text{ Па} \approx 1,01176\) 4. Расчет отношения длин столбов воздуха: \(l_1 / l_2 = 50 \text{ см} / 40,5 \text{ см} \approx 1,23457\) 5. Проверка равенства \(p_1 l_1 = p_2 l_2\) (Закон Бойля-Мариотта): Левая часть: \(p_1 l_1 = 102000 \text{ Па} \cdot 50 \text{ см} = 5100000 \text{ Па} \cdot \text{см}\) Правая часть: \(p_2 l_2 = 103200 \text{ Па} \cdot 40,5 \text{ см} = 4179600 \text{ Па} \cdot \text{см}\) Сравнение: \(5100000 \text{ Па} \cdot \text{см} \neq 4179600 \text{ Па} \cdot \text{см}\). Таким образом, равенство \(p_1 l_1 = p_2 l_2\) не выполняется. (Если бы нужно было проверить именно \(p_2 p_1 = l_1 l_2\), как написано в задаче, то оно тем более неверно, так как размерности не совпадают). Вывод: В ходе выполнения лабораторной работы были получены данные, которые не подтверждают закон Бойля-Мариотта (\(p_1 V_1 = p_2 V_2\), или в данном случае \(p_1 l_1 = p_2 l_2\)). Расчеты показали, что произведение начального давления на начальную длину столба воздуха не равно произведению конечного давления на конечную длину столба воздуха. Это расхождение может быть вызвано неточностью исходных данных, ошибкой в формуле для расчета давления \(p_2\), указанной в задаче, или погрешностями измерений.