Решение задач 149, 151, 152, 154 по геометрии

Задача 149

Даны прямая \(a\), точка \(B\), не лежащая на ней, и отрезок \(PQ\). Постройте точку \(M\) на прямой \(a\) так, чтобы \(BM = PQ\). Всегда ли задача имеет решение?

Решение:

1. Измерьте длину отрезка \(PQ\). Пусть эта длина будет \(L\).
2. Поставьте ножку циркуля в точку \(B\).
3. Раскройте циркуль на расстояние \(L\) (длину отрезка \(PQ\)).
4. Проведите окружность с центром в точке \(B\) и радиусом \(L\).
5. Точки пересечения этой окружности с прямой \(a\) будут искомыми точками \(M\).

Всегда ли задача имеет решение?

Задача имеет решение, если окружность с центром в точке \(B\) и радиусом \(PQ\) пересекает прямую \(a\). Это произойдет, если расстояние от точки \(B\) до прямой \(a\) меньше или равно длине отрезка \(PQ\).

• Если расстояние от \(B\) до \(a\) меньше \(PQ\), то будет две точки \(M\).
• Если расстояние от \(B\) до \(a\) равно \(PQ\), то будет одна точка \(M\) (точка касания).
• Если расстояние от \(B\) до \(a\) больше \(PQ\), то окружность не пересечет прямую \(a\), и задача не будет иметь решения.

Таким образом, задача не всегда имеет решение.

Задача 151

Даны острый угол \(BAC\) и луч \(XY\). Постройте угол \(YXZ\) так, чтобы \(\angle YXZ = 2 \angle BAC\).

Решение:

1. Построение угла, равного \(\angle BAC\), от луча \(XY\):
   • Проведите окружность произвольного радиуса с центром в точке \(A\). Пусть она пересечет стороны угла \(BAC\) в точках \(D\) и \(E\).
   • Не меняя радиуса, проведите окружность с центром в точке \(X\). Пусть она пересечет луч \(XY\) в точке \(F\).
   • Измерьте расстояние между точками \(D\) и \(E\) с помощью циркуля.
   • Отложите это расстояние от точки \(F\) на окружности с центром в \(X\). Получите точку \(G\).
   • Проведите луч \(XG\). Угол \(YXG\) равен углу \(BAC\).
2. Построение второго угла, равного \(\angle BAC\), от луча \(XG\):
   • Теперь используйте луч \(XG\) как одну из сторон нового угла. Повторите шаги из пункта 1, чтобы построить угол, равный \(\angle BAC\), так, чтобы его вершина была в \(X\), одна сторона совпадала с \(XG\), а другая сторона \(XZ\) лежала по ту же сторону от \(XG\), что и \(XY\).
   • Для этого:
     • Проведите окружность произвольного радиуса с центром в точке \(A\), пересекающую стороны угла \(BAC\) в точках \(D\) и \(E\).
     • Не меняя радиуса, проведите окружность с центром в точке \(X\). Пусть она пересечет луч \(XG\) в точке \(H\).
     • Измерьте расстояние между точками \(D\) и \(E\) с помощью циркуля.
     • Отложите это расстояние от точки \(H\) на окружности с центром в \(X\). Получите точку \(Z\).
     • Проведите луч \(XZ\).

Полученный угол \(YXZ\) будет равен сумме двух углов, каждый из которых равен \(\angle BAC\). То есть, \(\angle YXZ = \angle YXG + \angle GXZ = \angle BAC + \angle BAC = 2 \angle BAC\).

Задача 152

Дан тупой угол \(AOB\). Постройте луч \(OX\) так, чтобы углы \(XOA\) и \(XOB\) были равными тупыми углами.

Решение:

Чтобы углы \(XOA\) и \(XOB\) были равными тупыми углами, луч \(OX\) должен быть биссектрисой угла \(AOB\). Если угол \(AOB\) тупой, то его биссектриса разделит его на два острых угла. Однако, в задаче требуется, чтобы углы \(XOA\) и \(XOB\) были тупыми. Это возможно только в том случае, если луч \(OX\) лежит вне угла \(AOB\), и при этом углы \(XOA\) и \(XOB\) являются смежными с другими углами, образованными биссектрисой.

Давайте переформулируем условие, чтобы оно имело геометрический смысл. Если \(OX\) является биссектрисой угла \(AOB\), то \(\angle XOA = \angle XOB = \frac{1}{2} \angle AOB\). Если \(\angle AOB\) тупой (то есть \(90^\circ < \angle AOB < 180^\circ\)), то \(\frac{1}{2} \angle AOB\) будет острым (то есть \(45^\circ < \frac{1}{2} \angle AOB < 90^\circ\)). Таким образом, углы \(XOA\) и \(XOB\) не могут быть тупыми, если \(OX\) - биссектриса угла \(AOB\).

Возможно, в условии задачи подразумевается, что луч \(OX\) должен быть перпендикулярен биссектрисе угла \(AOB\), или что-то подобное, чтобы образовались тупые углы. Однако, если строго следовать формулировке "углы \(XOA\) и \(XOB\) были равными тупыми углами", то это невозможно, если \(OX\) находится внутри угла \(AOB\).

Рассмотрим случай, когда луч \(OX\) является продолжением биссектрисы угла, смежного с углом \(AOB\). Но это также не приведет к тому, что \(XOA\) и \(XOB\) будут равными тупыми углами.

Единственный способ, при котором \(\angle XOA\) и \(\angle XOB\) могут быть равными, это если луч \(OX\) является биссектрисой угла \(AOB\). Но тогда они будут острыми. Если же они должны быть тупыми, то это противоречит тому, что \(OX\) находится между \(OA\) и \(OB\).

Предположим, что в условии задачи есть опечатка, и имелось в виду, что углы \(XOA\) и \(XOB\) должны быть равными, но не обязательно тупыми, или что луч \(OX\) должен быть биссектрисой угла \(AOB\).

Если же строго следовать условию, то такая конструкция невозможна. Если \(\angle XOA\) и \(\angle XOB\) равны, то \(OX\) является биссектрисой угла \(AOB\). Но биссектриса тупого угла делит его на два острых угла. Следовательно, углы \(XOA\) и \(XOB\) не могут быть тупыми.

Вывод: Построить луч \(OX\) так, чтобы углы \(XOA\) и \(XOB\) были равными тупыми углами, невозможно, если \(OX\) находится внутри угла \(AOB\).

Возможно, задача подразумевает построение биссектрисы угла \(AOB\), а требование "тупыми углами" является ошибкой в формулировке.

Построение биссектрисы тупого угла \(AOB\):

1. Поставьте ножку циркуля в вершину \(O\) угла \(AOB\).
2. Проведите окружность произвольного радиуса, которая пересечет стороны \(OA\) и \(OB\) в точках \(C\) и \(D\) соответственно.
3. Поставьте ножку циркуля в точку \(C\) и проведите дугу внутри угла \(AOB\).
4. Не меняя радиуса, поставьте ножку циркуля в точку \(D\) и проведите еще одну дугу, которая пересечет первую дугу в точке \(X\).
5. Проведите луч \(OX\) из вершины \(O\) через точку \(X\).

Луч \(OX\) является биссектрисой угла \(AOB\). Углы \(\angle XOA\) и \(\angle XOB\) будут равны, но они будут острыми.

Задача 154

Дан треугольник \(ABC\). Постройте:

а) биссектрису \(AK\);

б) медиану \(BM\);

в) высоту \(CH\) треугольника.

Решение:

Для выполнения этих построений нам понадобится циркуль и линейка.

а) Построение биссектрисы \(AK\):

Биссектриса угла - это луч, который делит угол на два равных угла.

1. Поставьте ножку циркуля в вершину \(A\) угла \(BAC\).
2. Проведите окружность произвольного радиуса, которая пересечет стороны \(AB\) и \(AC\) в точках \(D\) и \(E\) соответственно.
3. Поставьте ножку циркуля в точку \(D\) и проведите дугу внутри угла \(BAC\).
4. Не меняя радиуса, поставьте ножку циркуля в точку \(E\) и проведите еще одну дугу, которая пересечет первую дугу в точке \(F\).
5. Проведите луч \(AF\) из вершины \(A\) через точку \(F\).
6. Точка \(K\), где луч \(AF\) пересекает сторону \(BC\), является точкой, образующей биссектрису \(AK\).

Отрезок \(AK\) - искомая биссектриса.

б) Построение медианы \(BM\):

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

1. Найдите середину стороны \(AC\). Для этого постройте серединный перпендикуляр к отрезку \(AC\).
   • Поставьте ножку циркуля в точку \(A\) и проведите дугу (радиус должен быть больше половины длины \(AC\)).
   • Не меняя радиуса, поставьте ножку циркуля в точку \(C\) и проведите еще одну дугу, которая пересечет первую дугу в двух точках (пусть это будут \(P\) и \(Q\)).
   • Проведите прямую через точки \(P\) и \(Q\). Эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку \(AC\).
   • Точка пересечения серединного перпендикуляра с отрезком \(AC\) является его серединой. Обозначим эту точку \(M\).
2. Проведите отрезок из вершины \(B\) в точку \(M\).

Отрезок \(BM\) - искомая медиана.

в) Построение высоты \(CH\) треугольника:

Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону (или ее продолжение).

1. Поставьте ножку циркуля в вершину \(C\).
2. Проведите окружность произвольного радиуса, которая пересечет прямую, содержащую сторону \(AB\), в двух точках (пусть это будут \(X\) и \(Y\)). Если сторона \(AB\) слишком короткая, чтобы окружность пересекла ее в двух точках, то нужно продлить сторону \(AB\).
3. Поставьте ножку циркуля в точку \(X\) и проведите дугу.
4. Не меняя радиуса, поставьте ножку циркуля в точку \(Y\) и проведите еще одну дугу, которая пересечет первую дугу в точке \(Z\).
5. Проведите прямую через точки \(C\) и \(Z\). Эта прямая будет перпендикулярна прямой \(AB\).
6. Точка пересечения этой прямой с прямой \(AB\) является основанием высоты. Обозначим эту точку \(H\).

Отрезок \(CH\) - искомая высота.