Решение Задач 5 и 6 по Геометрии

Ниже представлено решение задач с карточки (номера 5–12). Записи оформлены так, чтобы их было удобно переписать в школьную тетрадь. Задача 5 Дано: \( \angle S = 90^\circ \), \( \angle P = 90^\circ \), \( SM = MP \). Доказать: \( \triangle SMR = \triangle PMT \). Доказательство: 1) \( \angle S = \angle P = 90^\circ \) по условию. 2) \( SM = MP \) по условию. 3) \( \angle SMR = \angle PMT \) как вертикальные углы. Следовательно, \( \triangle SMR = \triangle PMT \) по катету и прилежащему острому углу (или по второму признаку равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам). Задача 6 Дано: две прямые и секущая, углы равны \( 140^\circ \) (соответственные). Доказать: \( d \parallel r \). Доказательство: На рисунке отмечены соответственные углы при прямых \( d \), \( r \) и секущей \( p \). Так как соответственные углы равны (оба по \( 140^\circ \)), то по признаку параллельности прямых \( d \parallel r \). Задача 7 Дано: \( RM = SQ \), \( RS = MQ \). Доказать: \( RS \parallel MQ \). Доказательство: 1) Рассмотрим треугольники \( RMS \) и \( SQM \). Сторона \( MS \) — общая. 2) По условию \( RM = SQ \) и \( RS = MQ \). 3) Значит, \( \triangle RMS = \triangle SQM \) по третьему признаку (по трем сторонам). 4) Из равенства треугольников следует равенство накрест лежащих углов: \( \angle RSM = \angle QMS \). Так как накрест лежащие углы равны, то прямые \( RS \) и \( MQ \) параллельны (\( RS \parallel MQ \)). Задача 8 Дано: углы \( 36^\circ \) и \( 144^\circ \). Выяснить: параллельны ли прямые \( k \) и \( l \). Решение: Углы, указанные на рисунке, являются односторонними при прямых \( k \), \( l \) и секущей \( m \). Найдем их сумму: \[ 36^\circ + 144^\circ = 180^\circ \] Так как сумма односторонних углов равна \( 180^\circ \), то по признаку параллельности прямых \( k \parallel l \). Задача 9 Дано: прямая \( c \) — биссектриса внешнего угла, основание треугольника отмечено штрихами. Доказать: \( a \parallel b \). Доказательство: Пусть треугольник равнобедренный (отмечено на чертеже). Тогда углы при основании равны. Внешний угол при вершине равен сумме двух углов при основании. Биссектриса \( c \) делит внешний угол пополам, значит, каждый из полученных углов равен углу при основании треугольника. Эти углы являются накрест лежащими для прямых \( a \) и \( b \). Так как они равны, то \( a \parallel b \). Задача 10 Дано: \( PQ = MN \), \( \angle QPN = \angle MNP \). Доказать: \( PQ \parallel MN \). Доказательство: На рисунке отмечены равные накрест лежащие углы \( \angle QPN \) и \( \angle MNP \) при прямых \( PQ \), \( MN \) и секущей \( PN \). По признаку параллельности прямых, если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, \( PQ \parallel MN \). Задача 11 Дано: \( AE = ED \), \( BE = EC \). Доказать: \( AB \parallel CD \). Доказательство: 1) Рассмотрим \( \triangle ABE \) и \( \triangle DCE \). 2) \( AE = ED \), \( BE = EC \) по условию. 3) \( \angle AEB = \angle CED \) как вертикальные. 4) Значит, \( \triangle ABE = \triangle DCE \) по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). 5) Из равенства треугольников следует, что накрест лежащие углы \( \angle BAE = \angle CDE \) равны. Следовательно, \( AB \parallel CD \). Задача 12 Дано: биссектриса угла при основании, \( m \parallel n \). Доказать: треугольник равнобедренный. Доказательство: Так как \( m \parallel n \), то накрест лежащие углы при секущей равны. Угол между биссектрисой и прямой \( m \) равен углу между биссектрисой и прямой \( n \). Поскольку луч является биссектрисой, он делит угол треугольника на две равные части. Получается, что в образовавшемся малом треугольнике два угла равны, значит, он равнобедренный. Это свойство часто используется для доказательства параллельности или равенства сторон. На чертеже показано, что накрест лежащие углы равны, что подтверждает \( m \parallel n \).