Решение задачи по геометрии 10 класс (К-1, В-1)

Ниже представлено решение контрольной работы по геометрии для 10 класса (К-1, В-1), оформленное для записи в тетрадь. Задача 1 Дано: \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб, \(CC_1\) — ребро, \(M\) — точка пересечения диагоналей грани \(AA_1D_1D\), ребро куба \(a = 2\) см. Построить: сечение куба плоскостью, проходящей через \(CC_1\) и \(M\). Найти периметр сечения. Решение: 1. Построение: Точка \(M\) лежит в плоскости грани \(AA_1D_1D\). Эта грань параллельна грани \(BB_1C_1C\), в которой лежит ребро \(CC_1\). Проведем через точку \(M\) прямую, параллельную ребру \(CC_1\). Эта прямая будет соединять середины ребер \(AD\) и \(A_1D_1\). Обозначим их \(K\) и \(K_1\). Так как \(CC_1 \parallel KK_1\), то точки \(C, C_1, K_1, K\) лежат в одной плоскости. Искомое сечение — прямоугольник \(CKK_1C_1\). 2. Вычисление периметра: Сторона \(CC_1\) равна ребру куба: \(CC_1 = 2\) см. Сторона \(CK\) является отрезком в основании куба \(ABCD\). Точка \(K\) — середина \(AD\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(CDK\) (угол \(D = 90^\circ\)): \(CD = 2\) см, \(DK = \frac{1}{2} AD = 1\) см. По теореме Пифагора: \[CK = \sqrt{CD^2 + DK^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} \text{ см.}\] Периметр прямоугольника \(CKK_1C_1\): \[P = 2 \cdot (CC_1 + CK) = 2 \cdot (2 + \sqrt{5}) = 4 + 2\sqrt{5} \text{ см.}\] Ответ: \(4 + 2\sqrt{5}\) см. Задача 2 Дано: \(a \parallel b\), \(A \notin a\), \(A \notin b\). Построить: плоскость \(\alpha\), такую что \(A \in \alpha\), \(a \parallel \alpha\), \(b \parallel \alpha\). Решение: 1. Через точку \(A\) проведем прямую \(c\), параллельную прямой \(a\). Такая прямая единственна по аксиоме параллельных. 2. Так как \(a \parallel b\) и \(c \parallel a\), то по свойству параллельности прямых \(c \parallel b\). 3. Через точку \(A\) можно провести бесконечно много плоскостей, содержащих прямую \(c\). Любая такая плоскость \(\alpha\), не проходящая через сами прямые \(a\) и \(b\), будет параллельна им по признаку параллельности прямой и плоскости (если прямая вне плоскости параллельна какой-либо прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна самой плоскости). 4. Обычно под такой плоскостью подразумевают плоскость, проходящую через точку \(A\) и одну из прямых, но в условии сказано "параллельную каждой". Поэтому достаточно провести через \(A\) прямую \(c \parallel a\) и любую другую прямую \(d\), пересекающую \(c\) в точке \(A\). Плоскость, образованная прямыми \(c\) и \(d\), будет искомой. Задача 3 Вопрос: Могут ли прямые \(AC\) и \(BD\) пересекаться, если \(AB\) и \(CD\) — скрещивающиеся? Решение: Предположим, что прямые \(AC\) и \(BD\) пересекаются в некоторой точке \(O\). 1. Если две прямые пересекаются, то через них можно провести плоскость. Пусть это плоскость \(\beta\). 2. Тогда точки \(A, C, B, D\) лежат в этой плоскости \(\beta\). 3. Если все четыре точки лежат в одной плоскости, то прямые \(AB\) и \(CD\), проходящие через эти точки, также лежат в этой плоскости. 4. Если прямые лежат в одной плоскости, они не могут быть скрещивающимися (по определению скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости). 5. Получили противоречие с условием задачи, где сказано, что \(AB\) и \(CD\) — скрещивающиеся. Ответ: Нет, не могут.