Решение квадратных неравенств: 2x^2 + 5x - 7 > 0 и x^2 + 8x < 0

Решение квадратных неравенств. 1) \( 2x^2 + 5x - 7 > 0 \) Найдем корни уравнения \( 2x^2 + 5x - 7 = 0 \). Вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 \] \[ \sqrt{D} = 9 \] Находим корни: \[ x_1 = \frac{-5 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-5 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -3,5 \] Так как коэффициент при \( x^2 \) положителен (\( 2 > 0 \)), ветви параболы направлены вверх. Неравенство строгое, точки выколотые. Решением будут промежутки, где парабола выше оси \( Ox \). Ответ: \( x \in (-\infty; -3,5) \cup (1; +\infty) \) 2) \( x^2 + 8x < 0 \) Разложим на множители: \[ x(x + 8) < 0 \] Корни уравнения: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = -8 \). Ветви параболы направлены вверх. Отрицательные значения находятся между корнями. Ответ: \( x \in (-8; 0) \) 3) \( x^2 \ge 64 \) Перенесем все в левую часть: \[ x^2 - 64 \ge 0 \] \[ (x - 8)(x + 8) \ge 0 \] Корни: \( x_1 = 8 \), \( x_2 = -8 \). Ветви параболы направлены вверх. Неравенство нестрогое, точки закрашенные. Выбираем внешние промежутки. Ответ: \( x \in (-\infty; -8] \cup [8; +\infty) \) 4) \( (x + 7)(x - 9) < 0 \) Корни уже определены: \( x_1 = -7 \), \( x_2 = 9 \). Это парабола с ветвями вверх. Значения меньше нуля находятся между корнями. Ответ: \( x \in (-7; 9) \) 5) \( 5x - 2x^2 \ge 0 \) Вынесем \( x \) за скобки: \[ x(5 - 2x) \ge 0 \] Найдем корни: \[ x_1 = 0 \] \[ 5 - 2x = 0 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x_2 = 2,5 \] Коэффициент при \( x^2 \) отрицателен (\( -2 < 0 \)), ветви параболы направлены вниз. Значения больше или равны нулю находятся между корнями (включая их). Ответ: \( x \in [0; 2,5] \)