Решение: Вычисление sin(75°) и cos(15°) через формулы сложения

Ниже представлено решение задач с карточки. Для вычислений используются формулы сложения тригонометрических функций. Задание 6 (верхняя строка) Вычислить \( \sin 75^\circ \). Представим аргумент как сумму \( 45^\circ + 30^\circ \): \[ \sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) \] Используем формулу \( \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \): \[ \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \] Задание 6 (нижняя строка) Вычислить \( \cos 15^\circ \). Представим аргумент как разность \( 45^\circ - 30^\circ \): \[ \cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) \] Используем формулу \( \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \): \[ \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \] Задание 7 (верхняя строка) Вычислить \( \cos 135^\circ \). Представим аргумент как сумму \( 90^\circ + 45^\circ \): \[ \cos 135^\circ = \cos(90^\circ + 45^\circ) = \cos 90^\circ \cos 45^\circ - \sin 90^\circ \sin 45^\circ = 0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] Задание 7 (нижняя строка) Вычислить \( \sin 135^\circ \). Представим аргумент как сумму \( 90^\circ + 45^\circ \): \[ \sin 135^\circ = \sin(90^\circ + 45^\circ) = \sin 90^\circ \cos 45^\circ + \cos 90^\circ \sin 45^\circ = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Задание 8 (верхняя строка) Вычислить \( \text{tg } 15^\circ \). Представим как \( 45^\circ - 30^\circ \). Используем формулу \( \text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg } \alpha - \text{tg } \beta}{1 + \text{tg } \alpha \text{tg } \beta} \): \[ \text{tg } 15^\circ = \frac{\text{tg } 45^\circ - \text{tg } 30^\circ}{1 + \text{tg } 45^\circ \text{tg } 30^\circ} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \] Избавимся от иррациональности в знаменателе: \[ \frac{(3 - \sqrt{3})^2}{9 - 3} = \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3}{6} = \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3} \] Задание 8 (нижняя строка) Вычислить \( \text{tg } 105^\circ \). Представим как \( 60^\circ + 45^\circ \): \[ \text{tg } 105^\circ = \frac{\text{tg } 60^\circ + \text{tg } 45^\circ}{1 - \text{tg } 60^\circ \text{tg } 45^\circ} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} \] Избавимся от иррациональности: \[ \frac{(1 + \sqrt{3})^2}{1 - 3} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{-2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -(2 + \sqrt{3}) \]