Решение задачи: cos(3α + α) и cos(5β - 2β)

Решение задачи №484 из учебника по тригонометрии. Для решения данных примеров используются формулы сложения: 1) Косинус суммы: \( \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \) 2) Косинус разности: \( \cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \) Запишем решение по пунктам: 1) \( \cos 3\alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin 3\alpha \) Применим формулу косинуса суммы, где \( x = 3\alpha \), а \( y = \alpha \): \[ \cos 3\alpha \cos \alpha - \sin 3\alpha \sin \alpha = \cos(3\alpha + \alpha) = \cos 4\alpha \] Ответ: \( \cos 4\alpha \) 2) \( \cos 5\beta \cos 2\beta + \sin 5\beta \sin 2\beta \) Применим формулу косинуса разности, где \( x = 5\beta \), а \( y = 2\beta \): \[ \cos 5\beta \cos 2\beta + \sin 5\beta \sin 2\beta = \cos(5\beta - 2\beta) = \cos 3\beta \] Ответ: \( \cos 3\beta \) 3) \( \cos \left( \frac{\pi}{7} + \alpha \right) \cos \left( \frac{5\pi}{14} - \alpha \right) - \sin \left( \frac{\pi}{7} + \alpha \right) \sin \left( \frac{5\pi}{14} - \alpha \right) \) Применим формулу косинуса суммы: \[ \cos \left( \left( \frac{\pi}{7} + \alpha \right) + \left( \frac{5\pi}{14} - \alpha \right) \right) = \cos \left( \frac{\pi}{7} + \alpha + \frac{5\pi}{14} - \alpha \right) = \cos \left( \frac{\pi}{7} + \frac{5\pi}{14} \right) \] Приведем дроби к общему знаменателю 14: \[ \cos \left( \frac{2\pi}{14} + \frac{5\pi}{14} \right) = \cos \left( \frac{7\pi}{14} \right) = \cos \frac{\pi}{2} \] Так как \( \cos \frac{\pi}{2} = 0 \), то: Ответ: 0 4) \( \cos \left( \frac{7\pi}{5} + \alpha \right) \cos \left( \frac{2\pi}{5} + \alpha \right) + \sin \left( \frac{7\pi}{5} + \alpha \right) \sin \left( \frac{2\pi}{5} + \alpha \right) \) Применим формулу косинуса разности: \[ \cos \left( \left( \frac{7\pi}{5} + \alpha \right) - \left( \frac{2\pi}{5} + \alpha \right) \right) = \cos \left( \frac{7\pi}{5} + \alpha - \frac{2\pi}{5} - \alpha \right) = \cos \left( \frac{7\pi}{5} - \frac{2\pi}{5} \right) \] \[ \cos \frac{5\pi}{5} = \cos \pi \] Так как \( \cos \pi = -1 \), то: Ответ: -1