Решение: Реши задачу: Реши

Контрольная работа по теме: «Арифметическая прогрессия» Вариант-2 Задача 1. Дано: \( (a_n) \) — арифметическая прогрессия, \( a_1 = 18 \), \( d = 2 \). Найти: \( a_{36} \). Решение: Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: \[ a_n = a_1 + (n - 1)d \] Подставим значения \( n = 36 \), \( a_1 = 18 \) и \( d = 2 \): \[ a_{36} = 18 + (36 - 1) \cdot 2 \] \[ a_{36} = 18 + 35 \cdot 2 \] \[ a_{36} = 18 + 70 = 88 \] Ответ: 88. Задача 2. Дано: \( (a_n) \) — арифметическая прогрессия, \( a_1 = 5 \), \( a_2 = 13 \). Найти: \( S_{15} \). Решение: 1) Найдем разность прогрессии \( d \): \[ d = a_2 - a_1 = 13 - 5 = 8 \] 2) Воспользуемся формулой суммы первых n членов: \[ S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n \] Подставим \( n = 15 \), \( a_1 = 5 \), \( d = 8 \): \[ S_{15} = \frac{2 \cdot 5 + (15 - 1) \cdot 8}{2} \cdot 15 \] \[ S_{15} = \frac{10 + 14 \cdot 8}{2} \cdot 15 \] \[ S_{15} = \frac{10 + 112}{2} \cdot 15 = \frac{122}{2} \cdot 15 = 61 \cdot 15 = 915 \] Ответ: 915. Задача 3. Дано: \( (c_n) \) — арифметическая прогрессия, \( c_1 = 16 \), \( c_5 = 8 \). Проверить: является ли число -24 членом этой прогрессии. Решение: 1) Найдем разность \( d \), используя формулу \( c_5 = c_1 + 4d \): \[ 8 = 16 + 4d \] \[ 4d = 8 - 16 \] \[ 4d = -8 \Rightarrow d = -2 \] 2) Проверим, существует ли такое натуральное \( n \), что \( c_n = -24 \): \[ c_n = c_1 + (n - 1)d \] \[ -24 = 16 + (n - 1) \cdot (-2) \] \[ -24 - 16 = -2(n - 1) \] \[ -40 = -2(n - 1) \] \[ n - 1 = 20 \Rightarrow n = 21 \] Так как \( n = 21 \) — натуральное число, то число -24 является 21-м членом прогрессии. Ответ: Да, является. Задача 4. Дано: \( b_n = 4n - 1 \). Найти: \( S_{30} \). Решение: 1) Найдем первый член: \( b_1 = 4 \cdot 1 - 1 = 3 \). 2) Найдем тридцатый член: \( b_{30} = 4 \cdot 30 - 1 = 120 - 1 = 119 \). 3) Найдем сумму по формуле: \[ S_n = \frac{b_1 + b_n}{2} \cdot n \] \[ S_{30} = \frac{3 + 119}{2} \cdot 30 = \frac{122}{2} \cdot 30 = 61 \cdot 30 = 1830 \] Ответ: 1830. Задача 5. Найти сумму всех чисел кратных 5 и не превышающих 200. Решение: Числа, кратные 5, образуют арифметическую прогрессию, где \( a_1 = 5 \), \( d = 5 \), а последний член \( a_n = 200 \). 1) Найдем количество членов \( n \): \[ a_n = a_1 + (n - 1)d \] \[ 200 = 5 + (n - 1) \cdot 5 \] \[ 195 = 5(n - 1) \] \[ n - 1 = 39 \Rightarrow n = 40 \] 2) Найдем сумму: \[ S_{40} = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \] \[ S_{40} = \frac{5 + 200}{2} \cdot 40 = \frac{205}{2} \cdot 40 = 205 \cdot 20 = 4100 \] Ответ: 4100.