Решение задачи по физике: Закон сохранения импульса и энергии

Вариант второй Задача 1 Дано: \(v_0 = 2\) м/с \(M = 200\) кг \(m = 70\) кг \(v_ч = -6\) м/с (относительно земли, против движения) Найти: \(v_л\) — ? Решение: Воспользуемся законом сохранения импульса. Суммарный импульс системы до прыжка равен импульсу системы после прыжка. \[(M + m)v_0 = M v_л + m v_ч\] Выразим скорость лодки \(v_л\): \[M v_л = (M + m)v_0 - m v_ч\] \[v_л = \frac{(M + m)v_0 - m v_ч}{M}\] Подставим значения: \[v_л = \frac{(200 + 70) \cdot 2 - 70 \cdot (-6)}{200} = \frac{270 \cdot 2 + 420}{200} = \frac{540 + 420}{200} = \frac{960}{200} = 4,8 \text{ м/с}\] Ответ: \(v_л = 4,8\) м/с. Задача 2 Дано: \(v_0 = 15\) м/с \(h = 10\) м \(g = 10\) м/с\(^2\) Найти: \(v\) — ? Решение: Используем закон сохранения механической энергии. Кинетическая энергия в момент броска переходит в потенциальную энергию на высоте \(h\) и остаточную кинетическую энергию: \[\frac{m v_0^2}{2} = mgh + \frac{m v^2}{2}\] Сократим на \(m\) и умножим на 2: \[v_0^2 = 2gh + v^2\] Отсюда: \[v = \sqrt{v_0^2 - 2gh}\] Подставим значения: \[v = \sqrt{15^2 - 2 \cdot 10 \cdot 10} = \sqrt{225 - 200} = \sqrt{25} = 5 \text{ м/с}\] Ответ: \(v = 5\) м/с. Задача 3 Дано: \(m = 10 \text{ г} = 0,01\) кг \(v_1 = 500\) м/с \(d = 10 \text{ см} = 0,1\) м \(F_{ср} = 10 \text{ кН} = 10000\) Н Найти: \(v_2\) — ? Решение: Изменение кинетической энергии пули равно работе силы сопротивления (работа отрицательна): \[\frac{m v_2^2}{2} - \frac{m v_1^2}{2} = -F_{ср} \cdot d\] \[\frac{m v_2^2}{2} = \frac{m v_1^2}{2} - F_{ср} d\] \[v_2^2 = v_1^2 - \frac{2 F_{ср} d}{m}\] \[v_2 = \sqrt{v_1^2 - \frac{2 F_{ср} d}{m}}\] Подставим значения: \[v_2 = \sqrt{500^2 - \frac{2 \cdot 10000 \cdot 0,1}{0,01}} = \sqrt{250000 - \frac{2000}{0,01}} = \sqrt{250000 - 200000} = \sqrt{50000} \approx 223,6 \text{ м/с}\] Ответ: \(v_2 \approx 223,6\) м/с. Задача 4 Дано: \(F_{max} = 40\) Н \(k = 500\) Н/м Найти: \(A_{упр}\) — ? Решение: Сначала найдем максимальное растяжение пружины \(x\) по закону Гука: \[F = kx \Rightarrow x = \frac{F_{max}}{k} = \frac{40}{500} = 0,08 \text{ м}\] Работа силы упругости при растяжении от \(0\) до \(x\) отрицательна (так как сила направлена против перемещения), но часто в задачах просят найти работу внешней силы или модуль работы. Работа самой силы упругости: \[A_{упр} = -\frac{kx^2}{2}\] Подставим значения: \[A_{упр} = -\frac{500 \cdot 0,08^2}{2} = -250 \cdot 0,0064 = -1,6 \text{ Дж}\] Если рассматривается работа по растяжению (внешней силы), то \(A = 1,6\) Дж. Ответ: \(|A| = 1,6\) Дж. Задача 5 Дано: \(v = 54 \text{ км/ч} = 15\) м/с \(P_{полн} = 2 \text{ кВт} = 2000\) Вт \(\eta = 80\% = 0,8\) Найти: \(F_{тяги}\) — ? Решение: Полезная мощность двигателя \(P_{полез}\) связана с полной мощностью через КПД: \[P_{полез} = P_{полн} \cdot \eta\] Также полезная мощность при равномерном движении равна: \[P_{полез} = F_{тяги} \cdot v\] Приравняем выражения: \[F_{тяги} \cdot v = P_{полн} \cdot \eta\] Выразим силу тяги: \[F_{тяги} = \frac{P_{полн} \cdot \eta}{v}\] Подставим значения: \[F_{тяги} = \frac{2000 \cdot 0,8}{15} = \frac{1600}{15} \approx 106,7 \text{ Н}\] Ответ: \(F_{тяги} \approx 106,7\) Н.