Решение: Сокращение дробей и упрощение выражений

3. Сократить дробь: а) \[\frac{9x - 18}{x^2 - 2x} = \frac{9(x - 2)}{x(x - 2)} = \frac{9}{x}\] б) \[\frac{x^2 - 5x + 6}{x - 3}\] Разложим числитель на множители через дискриминант или теорему Виета: \(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\). \[\frac{(x - 2)(x - 3)}{x - 3} = x - 2\] в) \[\frac{x^3 - 3x^2 + 2x - 6}{x^2 + 2}\] Сгруппируем слагаемые в числителе: \[\frac{(x^3 - 3x^2) + (2x - 6)}{x^2 + 2} = \frac{x^2(x - 3) + 2(x - 3)}{x^2 + 2} = \frac{(x - 3)(x^2 + 2)}{x^2 + 2} = x - 3\] 4. Упростить выражение: \[\left( \frac{b}{b - 5} - \frac{2b}{b^2 - 10b + 25} \right) \cdot \frac{25 - b^2}{b - 7} + \frac{10b}{b - 5}\] 1) Выполним действие в скобках, заметив, что \(b^2 - 10b + 25 = (b - 5)^2\): \[\frac{b}{b - 5} - \frac{2b}{(b - 5)^2} = \frac{b(b - 5) - 2b}{(b - 5)^2} = \frac{b^2 - 5b - 2b}{(b - 5)^2} = \frac{b^2 - 7b}{(b - 5)^2} = \frac{b(b - 7)}{(b - 5)^2}\] 2) Умножим результат на дробь: \[\frac{b(b - 7)}{(b - 5)^2} \cdot \frac{(5 - b)(5 + b)}{b - 7} = \frac{b(b - 7) \cdot (-(b - 5))(5 + b)}{(b - 5)^2 \cdot (b - 7)} = \frac{-b(5 + b)}{b - 5} = \frac{-5b - b^2}{b - 5}\] 3) Сложим с последним слагаемым: \[\frac{-5b - b^2}{b - 5} + \frac{10b}{b - 5} = \frac{-b^2 + 5b}{b - 5} = \frac{-b(b - 5)}{b - 5} = -b\] Ответ: \(-b\) 5. Решить уравнение: \[\frac{x^2 - 8x + 15}{x^2 - 25} = 0\] Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. 1) \(x^2 - 8x + 15 = 0\) По теореме Виета: \(x_1 = 3\), \(x_2 = 5\). 2) ОДЗ: \(x^2 - 25 \neq 0 \Rightarrow (x - 5)(x + 5) \neq 0 \Rightarrow x \neq 5\) и \(x \neq -5\). Корень \(x = 5\) не подходит по ОДЗ. Ответ: \(x = 3\) 6. Построить график функции \(y = -\frac{4}{x}\) Графиком является гипербола, расположенная во II и IV четвертях. Составим таблицу значений: x | -4 | -2 | -1 | 1 | 2 | 4 y | 1 | 2 | 4 | -4 | -2 | -1 При переносе в тетрадь начертите оси координат, отметьте точки из таблицы и проведите две плавные ветви гиперболы, которые приближаются к осям, но не пересекают их.