Решение криволинейного интеграла ∫ 6xydy - (x+1)dx

Задание 1. Вычислить криволинейный интеграл: \[ I = \int_{\Gamma} 6xydy - (x+1)dx \] где \(\Gamma\) — дуга кривой \(y = 4 - x^2\), \(y \ge 0\), ориентирована отрицательно. Решение: 1. Определим пределы интегрирования. Кривая \(y = 4 - x^2\) пересекает ось \(Ox\) при \(y = 0\): \[ 4 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \] Так как дуга ориентирована отрицательно (по часовой стрелке), движение происходит от точки \(x = -2\) до \(x = 2\). 2. Выразим \(dy\) через \(dx\): \[ y = 4 - x^2 \Rightarrow dy = (4 - x^2)' dx = -2xdx \] 3. Подставим выражения для \(y\) и \(dy\) в интеграл, переходя к переменной \(x\): \[ I = \int_{-2}^{2} [6x(4 - x^2)(-2x) - (x + 1)] dx \] \[ I = \int_{-2}^{2} [-12x^2(4 - x^2) - x - 1] dx \] \[ I = \int_{-2}^{2} (-48x^2 + 12x^4 - x - 1) dx \] 4. Вычислим определенный интеграл: \[ I = \left[ -48 \cdot \frac{x^3}{3} + 12 \cdot \frac{x^5}{5} - \frac{x^2}{2} - x \right]_{-2}^{2} \] \[ I = \left[ -16x^3 + \frac{12}{5}x^5 - \frac{x^2}{2} - x \right]_{-2}^{2} \] Подставим верхний предел (2): \[ -16(8) + \frac{12}{5}(32) - \frac{4}{2} - 2 = -128 + 76.8 - 2 - 2 = -55.2 \] Подставим нижний предел (-2): \[ -16(-8) + \frac{12}{5}(-32) - \frac{4}{2} - (-2) = 128 - 76.8 - 2 + 2 = 51.2 \] Итоговое значение: \[ I = -55.2 - 51.2 = -106.4 \] Ответ: -106.4. Задание 2. Вычислить площадь треугольника с вершинами \(A(1;2)\), \(B(4;7)\), \(C(5;3)\) с помощью криволинейного интеграла. Решение: Площадь \(S\) плоской фигуры вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \oint_{L} xdy - ydx \] где \(L\) — контур треугольника \(ABC\), обходимый против часовой стрелки. 1. Составим уравнения сторон: Для \(AB\): \(\frac{x-1}{4-1} = \frac{y-2}{7-2} \Rightarrow \frac{x-1}{3} = \frac{y-2}{5} \Rightarrow y = \frac{5}{3}x + \frac{1}{3}\), \(dy = \frac{5}{3}dx\). Для \(BC\): \(\frac{x-4}{5-4} = \frac{y-7}{3-7} \Rightarrow \frac{x-4}{1} = \frac{y-7}{-4} \Rightarrow y = -4x + 23\), \(dy = -4dx\). Для \(CA\): \(\frac{x-5}{1-5} = \frac{y-3}{2-3} \Rightarrow \frac{x-5}{-4} = \frac{y-3}{-1} \Rightarrow y = \frac{1}{4}x + \frac{7}{4}\), \(dy = \frac{1}{4}dx\). 2. Вычислим интеграл \( \int (xdy - ydx) \) для каждой стороны: На \(AB\): \(\int_{1}^{4} (x \cdot \frac{5}{3} - (\frac{5}{3}x + \frac{1}{3})) dx = \int_{1}^{4} -\frac{1}{3} dx = -\frac{1}{3}(4-1) = -1\). На \(BC\): \(\int_{4}^{5} (x \cdot (-4) - (-4x + 23)) dx = \int_{4}^{5} -23 dx = -23(5-4) = -23\). На \(CA\): \(\int_{5}^{1} (x \cdot \frac{1}{4} - (\frac{1}{4}x + \frac{7}{4})) dx = \int_{5}^{1} -\frac{7}{4} dx = -\frac{7}{4}(1-5) = 7\). 3. Суммируем и находим площадь: \[ \oint_{L} = -1 - 23 + 7 = -17 \] Так как мы получили отрицательное значение, это значит, что обход \(A \to B \to C\) был по часовой стрелке. Площадь берется по модулю: \[ S = \frac{1}{2} | -17 | = 8.5 \] Ответ: 8.5.