Решение поверхностного интеграла второго рода по сфере

Задание: Вычислить поверхностный интеграл второго рода \[ I = \iint_{S} y \, dy \, dz \] где \( S \) — внешняя сторона части сферы \( x^2 + y^2 + z^2 = 16 \), при условиях \( x \geq 0 \), \( y \geq 0 \), \( z \leq 0 \). Решение: 1. Определение поверхности и нормали. Уравнение сферы имеет вид \( x^2 + y^2 + z^2 = R^2 \), где \( R = 4 \). Так как в интеграле стоит дифференциал \( dy \, dz \), нам нужно спроектировать поверхность \( S \) на плоскость \( Oyz \). Из уравнения сферы выразим \( x \): \[ x = \sqrt{16 - y^2 - z^2} \] Мы берем корень со знаком "плюс", так как по условию \( x \geq 0 \). 2. Определение знака перед интегралом. Для внешней стороны сферы вектор нормали \( \vec{n} \) направлен от центра координат. Так как рассматриваемая часть сферы находится в области \( x \geq 0 \), нормаль образует острый угол с положительным направлением оси \( Ox \). Следовательно, при переходе к двойному интегралу по проекции на плоскость \( Oyz \) знак остается положительным. 3. Область проектирования. Проекция \( D \) части сферы на плоскость \( Oyz \) при \( y \geq 0 \) и \( z \leq 0 \) представляет собой четверть круга: \[ D: \{ y^2 + z^2 \leq 16, \, y \geq 0, \, z \leq 0 \} \] 4. Переход к двойному интегралу. \[ I = \iint_{D} y \, dy \, dz \] 5. Вычисление интеграла в полярных координатах. Введем замену для плоскости \( Oyz \): \[ y = r \cos \varphi \] \[ z = r \sin \varphi \] Якобиан перехода равен \( r \). Определим пределы интегрирования для четверти круга в четвертом квадранте (так как \( y \geq 0, z \leq 0 \)): \[ 0 \leq r \leq 4 \] \[ -\frac{\pi}{2} \leq \varphi \leq 0 \] Подставим в интеграл: \[ I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} d\varphi \int_{0}^{4} (r \cos \varphi) \cdot r \, dr \] \[ I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \cos \varphi \, d\varphi \cdot \int_{0}^{4} r^2 \, dr \] 6. Вычисляем по частям: Первый интеграл: \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \cos \varphi \, d\varphi = \sin \varphi \Big|_{-\frac{\pi}{2}}^{0} = \sin(0) - \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0 - (-1) = 1 \] Второй интеграл: \[ \int_{0}^{4} r^2 \, dr = \frac{r^3}{3} \Big|_{0}^{4} = \frac{4^3}{3} - 0 = \frac{64}{3} \] 7. Итоговый результат: \[ I = 1 \cdot \frac{64}{3} = \frac{64}{3} = 21\frac{1}{3} \] Ответ: \( \frac{64}{3} \) или \( 21\frac{1}{3} \).