Решение: Реши задачу: Реши

Экзаменационный билет №16 Практическое задание №1 1) Вычислить: \[ \frac{\log_2 128 - \frac{1}{2} \log_2 32}{\log_2 64 - \frac{1}{3} \log_2 128} \] Решение: Вспомним степени двойки: \( 128 = 2^7 \), \( 32 = 2^5 \), \( 64 = 2^6 \). \[ \frac{7 - \frac{1}{2} \cdot 5}{6 - \frac{1}{3} \cdot 7} = \frac{7 - 2,5}{6 - \frac{7}{3}} = \frac{4,5}{\frac{18-7}{3}} = \frac{4,5}{\frac{11}{3}} = \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{11} = \frac{27}{22} \] Ответ: \( \frac{27}{22} \) 2) Вычислить: \[ (81^{\frac{1}{4} \log_9 16} + 25^{\log_5 3}) \cdot 49^{\log_7 2} \] Решение: Преобразуем каждое слагаемое: \( 81^{\frac{1}{4} \log_9 16} = (3^4)^{\frac{1}{4} \log_9 16} = 3^{\log_9 16} = 3^{\log_{3^2} 4^2} = 3^{\log_3 4} = 4 \) \( 25^{\log_5 3} = (5^2)^{\log_5 3} = 5^{2 \log_5 3} = 5^{\log_5 3^2} = 5^{\log_5 9} = 9 \) \( 49^{\log_7 2} = (7^2)^{\log_7 2} = 7^{2 \log_7 2} = 7^{\log_7 2^2} = 7^{\log_7 4} = 4 \) Итоговое выражение: \[ (4 + 9) \cdot 4 = 13 \cdot 4 = 52 \] Ответ: 52 Практическое задание №2 1) Решить уравнение: \[ 9^{2x} + 10 \cdot 9^x - 24 = 0 \] Решение: Пусть \( 9^x = t \), где \( t > 0 \). \[ t^2 + 10t - 24 = 0 \] По теореме Виета: \( t_1 = -12 \) (не подходит, так как \( t > 0 \)), \( t_2 = 2 \). Обратная замена: \[ 9^x = 2 \Rightarrow x = \log_9 2 \] Ответ: \( \log_9 2 \) 2) Решить уравнение: \[ 34^x - 6 \cdot 2^x - 7 \cdot 17^x + 42 = 0 \] Решение: Заметим, что \( 34^x = (2 \cdot 17)^x = 2^x \cdot 17^x \). \[ 2^x \cdot 17^x - 6 \cdot 2^x - 7 \cdot 17^x + 42 = 0 \] Сгруппируем слагаемые: \[ 2^x(17^x - 6) - 7(17^x - 6) = 0 \] \[ (2^x - 7)(17^x - 6) = 0 \] 1) \( 2^x = 7 \Rightarrow x_1 = \log_2 7 \) 2) \( 17^x = 6 \Rightarrow x_2 = \log_{17} 6 \) Ответ: \( \log_2 7; \log_{17} 6 \) Практическое задание №3 1) Решить уравнение: \[ \log_3 \log_{36} (\log_6 (x+1))^2 = 0 \] Решение: \[ \log_{36} (\log_6 (x+1))^2 = 3^0 = 1 \] \[ (\log_6 (x+1))^2 = 36^1 = 36 \] Отсюда два случая: а) \( \log_6 (x+1) = 6 \Rightarrow x+1 = 6^6 \Rightarrow x = 6^6 - 1 = 46655 \) б) \( \log_6 (x+1) = -6 \Rightarrow x+1 = 6^{-6} \Rightarrow x = 6^{-6} - 1 \) Ответ: \( 46655; 6^{-6} - 1 \) 2) Решить уравнение: \[ \log_{25} x + \log_5 x - \log_{\sqrt{5}} x = -1 \] Решение: Приведем к основанию 5: \[ \frac{1}{2} \log_5 x + \log_5 x - 2 \log_5 x = -1 \] \[ (0,5 + 1 - 2) \log_5 x = -1 \] \[ -0,5 \log_5 x = -1 \] \[ \log_5 x = 2 \Rightarrow x = 5^2 = 25 \] Ответ: 25 Практическое задание №4 1) Вычислить: \[ 4 \sin(1500^\circ) - 3 \cos(1620^\circ) \] Решение: \( \sin(1500^\circ) = \sin(1500^\circ - 4 \cdot 360^\circ) = \sin(1500^\circ - 1440^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) \( \cos(1620^\circ) = \cos(1620^\circ - 4 \cdot 360^\circ) = \cos(1620^\circ - 1440^\circ) = \cos(180^\circ) = -1 \) \[ 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 \cdot (-1) = 2\sqrt{3} + 3 \] 2) Вычислить: \[ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \] Решение: Это формула синуса суммы: \( \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta \). \[ \sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \] 3) Вычислить: \[ \frac{\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) - \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)}{\text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right)} \] Решение: \( \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 \), \( \text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \) \[ \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2} - (-1)}{\sqrt{3}} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{2} \] 4) Вычислить: \[ \text{tg}\left(\frac{7\pi}{6}\right) \cdot \text{ctg}\left(\frac{5\pi}{3}\right) \] Решение: \( \text{tg}\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \text{tg}\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \) \( \text{ctg}\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \text{ctg}\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\text{ctg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}} \) \[ \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{1}{3} \] Практическое задание №5 1) Найти значение: \[ \frac{\sin^2 x + \cos^2 x + \sin x \cos x}{\sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x} \] Решение: Используем \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \). \[ \frac{1 + \sin x \cos x}{1 + 2 \sin x \cos x} \] Разделим числитель и знаменатель на \( \cos^2 x \), чтобы выразить через \( \text{tg} x = 1 \): Так как \( \text{tg} x = 1 \), то \( \sin x = \cos x \). Тогда \( \sin x \cos x = \sin^2 x \). При \( \text{tg} x = 1 \), \( x = \frac{\pi}{4} \), \( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \). \[ \frac{1 + \frac{1}{2}}{1 + 1} = \frac{1,5}{2} = 0,75 \] 2) Найти значение при \( \text{tg} x = 2 \): \[ \frac{3 \sin^2 x - 2 \cos^2 x}{\sin^2 x + \cos^2 x} = 3 \sin^2 x - 2 \cos^2 x \] Разделим всё на \( \cos^2 x \) (учитывая, что знаменатель равен 1): \[ \frac{\cos^2 x (3 \text{tg}^2 x - 2)}{1} \] Вспомним, что \( \cos^2 x = \frac{1}{1 + \text{tg}^2 x} \). \[ \frac{3 \cdot 2^2 - 2}{1 + 2^2} = \frac{12 - 2}{1 + 4} = \frac{10}{5} = 2 \] Ответ: 2