Решение задачи: Вычисление выражений и система уравнений

Ниже представлено решение заданий с доски, оформленное для записи в тетрадь. Задание 1. Вычислить выражения: а) \[\frac{64^8 \cdot 24^3}{8^{18}}\] Разложим числа на множители, чтобы привести к общему основанию 8: \(64 = 8^2\), \(24 = 8 \cdot 3\). \[\frac{(8^2)^8 \cdot (8 \cdot 3)^3}{8^{18}} = \frac{8^{16} \cdot 8^3 \cdot 3^3}{8^{18}} = \frac{8^{19} \cdot 3^3}{8^{18}} = 8^{19-18} \cdot 27 = 8^1 \cdot 27 = 216\] Ответ: 216. б) \(\log_8 128 - \log_8 2\) Используем свойство разности логарифмов: \(\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}\). \[\log_8 \frac{128}{2} = \log_8 64\] Так как \(64 = 8^2\), то: \[\log_8 8^2 = 2\] Ответ: 2. Задание 2. Решить систему уравнений методом Крамера: \[\begin{cases} 3x - 5y = 11 \\ 2x + 3y = 20 \end{cases}\] 1) Вычислим главный определитель системы: \[\Delta = \begin{vmatrix} 3 & -5 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 3 \cdot 3 - (-5) \cdot 2 = 9 + 10 = 19\] 2) Вычислим вспомогательный определитель для \(x\): \[\Delta_x = \begin{vmatrix} 11 & -5 \\ 20 & 3 \end{vmatrix} = 11 \cdot 3 - (-5) \cdot 20 = 33 + 100 = 133\] 3) Вычислим вспомогательный определитель для \(y\): \[\Delta_y = \begin{vmatrix} 3 & 11 \\ 2 & 20 \end{vmatrix} = 3 \cdot 20 - 11 \cdot 2 = 60 - 22 = 38\] 4) Находим значения переменных: \[x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{133}{19} = 7\] \[y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{38}{19} = 2\] Ответ: (7; 2). Задание 3. Выполнить действия: а) \(7\frac{2}{5} a^{-8} b^3 c^6 \cdot 5 a^9 b^{-5} c^{-3}\) Переведем смешанное число в неправильную дробь: \(7\frac{2}{5} = \frac{37}{5}\). \[\frac{37}{5} \cdot 5 \cdot a^{-8+9} \cdot b^{3-5} \cdot c^{6-3} = 37 a^1 b^{-2} c^3 = \frac{37ac^3}{b^2}\] б) \((\frac{2}{3})^{-2/3} \cdot 9 - 64^{2/3}\) Заметим, что \(64 = 4^3\). \[(\frac{3}{2})^{2/3} \cdot 9 - (4^3)^{2/3} = \sqrt[3]{\frac{9}{4}} \cdot 9 - 4^2 = 9\sqrt[3]{2,25} - 16\] (Примечание: если в условии \((\frac{2}{3})^{-2} \cdot 3\), результат был бы целым, но решаем строго по фото). Задание 4. Решить уравнение: \[\log_4 (21x + 15) = 3\] По определению логарифма: \[21x + 15 = 4^3\] \[21x + 15 = 64\] \[21x = 64 - 15\] \[21x = 49\] \[x = \frac{49}{21} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}\] Проверка: \(21 \cdot \frac{7}{3} + 15 = 49 + 15 = 64 > 0\), корень подходит. Ответ: \(2\frac{1}{3}\).