Решение задач 199, 201, 203

Вот решения задач 199, 201, 203, оформленные так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. Задачи 199. На окружности с центром \(O\) выбрана точка \(A\). Из этой окружности случайным образом выбирают случайную точку \(X\). Найдите вероятность того, что угол \(AOX\): а) меньше \(90^\circ\); б) больше \(120^\circ\); в) находится в пределах от \(30^\circ\) до \(60^\circ\). Решение: Представим окружность как интервал углов от \(0^\circ\) до \(360^\circ\). Точка \(A\) фиксирована, поэтому угол \(AOX\) может принимать любое значение от \(0^\circ\) до \(360^\circ\). Общая длина интервала возможных углов равна \(360^\circ\). а) Угол \(AOX\) меньше \(90^\circ\). Благоприятный интервал углов: от \(0^\circ\) до \(90^\circ\). Длина этого интервала равна \(90^\circ\). Вероятность \(P = \frac{\text{длина благоприятного интервала}}{\text{длина всего интервала}} = \frac{90^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{4}\). Ответ: \(P = \frac{1}{4}\). б) Угол \(AOX\) больше \(120^\circ\). Благоприятный интервал углов: от \(120^\circ\) до \(360^\circ\). Длина этого интервала равна \(360^\circ - 120^\circ = 240^\circ\). Вероятность \(P = \frac{240^\circ}{360^\circ} = \frac{2}{3}\). Ответ: \(P = \frac{2}{3}\). в) Угол \(AOX\) находится в пределах от \(30^\circ\) до \(60^\circ\). Благоприятный интервал углов: от \(30^\circ\) до \(60^\circ\). Длина этого интервала равна \(60^\circ - 30^\circ = 30^\circ\). Вероятность \(P = \frac{30^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{12}\). Ответ: \(P = \frac{1}{12}\). 201. Вернувшись из отпуска, Иван Иванович обнаружил, что настенные часы давно остановились. Найдите вероятность того, что время, которое показывают остановившиеся часы, отличается от действительного времени не больше чем на 30 минут. Решение: Представим циферблат часов как интервал времени в 12 часов (или 720 минут). Стрелки часов могут остановиться в любой момент времени с равной вероятностью. Общая длина интервала возможных положений стрелок: 12 часов = 720 минут. Мы ищем вероятность того, что показанное время отличается от действительного не более чем на 30 минут. Это означает, что стрелка должна остановиться в интервале \(\pm 30\) минут от действительного времени. Например, если действительное время 12:00, то благоприятный интервал — от 11:30 до 12:30. Длина этого интервала составляет \(30 + 30 = 60\) минут. Вероятность \(P = \frac{\text{длина благоприятного интервала}}{\text{длина всего интервала}} = \frac{60 \text{ минут}}{720 \text{ минут}} = \frac{1}{12}\). Ответ: \(P = \frac{1}{12}\). 203. Из отрезка \([0; 1]\) случайным образом выбирается число \(x\). Найдите вероятность того, что: а) \(2x < 0,5\); б) \(2x - 1 \le 0,4\); в) \(0,4 \le 2x \le 0,6\); г) \(3x \le 0,3\) или \(3x \ge 0,9\). Решение: Общая длина отрезка, из которого выбирается число \(x\), равна \(1 - 0 = 1\). а) \(2x < 0,5\) Разделим обе части неравенства на 2: \(x < \frac{0,5}{2}\) \(x < 0,25\) Учитывая, что \(x\) выбирается из отрезка \([0; 1]\), благоприятный интервал для \(x\) — это \([0; 0,25)\). Длина этого интервала равна \(0,25 - 0 = 0,25\). Вероятность \(P = \frac{0,25}{1} = 0,25\). Ответ: \(P = 0,25\). б) \(2x - 1 \le 0,4\) Прибавим 1 к обеим частям неравенства: \(2x \le 0,4 + 1\) \(2x \le 1,4\) Разделим обе части на 2: \(x \le \frac{1,4}{2}\) \(x \le 0,7\) Учитывая, что \(x\) выбирается из отрезка \([0; 1]\), благоприятный интервал для \(x\) — это \([0; 0,7]\). Длина этого интервала равна \(0,7 - 0 = 0,7\). Вероятность \(P = \frac{0,7}{1} = 0,7\). Ответ: \(P = 0,7\). в) \(0,4 \le 2x \le 0,6\) Разделим все части неравенства на 2: \(\frac{0,4}{2} \le x \le \frac{0,6}{2}\) \(0,2 \le x \le 0,3\) Благоприятный интервал для \(x\) — это \([0,2; 0,3]\). Длина этого интервала равна \(0,3 - 0,2 = 0,1\). Вероятность \(P = \frac{0,1}{1} = 0,1\). Ответ: \(P = 0,1\). г) \(3x \le 0,3\) или \(3x \ge 0,9\) Рассмотрим каждое неравенство отдельно: 1) \(3x \le 0,3\) \(x \le \frac{0,3}{3}\) \(x \le 0,1\) Учитывая \([0; 1]\), это интервал \([0; 0,1]\). Длина \(0,1\). 2) \(3x \ge 0,9\) \(x \ge \frac{0,9}{3}\) \(x \ge 0,3\) Учитывая \([0; 1]\), это интервал \([0,3; 1]\). Длина \(1 - 0,3 = 0,7\). Эти два интервала \([0; 0,1]\) и \([0,3; 1]\) не пересекаются. Общая длина благоприятных интервалов равна сумме их длин: \(0,1 + 0,7 = 0,8\). Вероятность \(P = \frac{0,8}{1} = 0,8\). Ответ: \(P = 0,8\).