schoolМатематика
verifiedРешено AI
Решение задач с корнями и степенями
help_outlineУсловие задачи
Реши задачу: Реши
lightbulbКраткий ответ
Представлены решения задач на упрощение выражений, содержащих корни и степени. Примеры включают преобразование выражений к виду степени числа x и вычисление числовых выражений с использованием свойств степеней.
Подробное решение
Вариант 2
Задание 1. Представьте выражения в виде степени числа x (x > 0):
а) \(\sqrt[10]{x^9} \cdot x^{1,1} = x^{\frac{9}{10}} \cdot x^{1,1} = x^{0,9} \cdot x^{1,1} = x^{0,9 + 1,1} = x^2\)
б) \(\frac{\sqrt[6]{x^3}}{\sqrt{x}} = \frac{x^{\frac{3}{6}}}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = x^0 = 1\)
Задание 2. Вычислите:
а) \(\frac{8^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{2}}{2^{-\frac{1}{2}}} = \frac{(2^3)^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2^{-\frac{1}{2}}} = \frac{2^2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2^{-\frac{1}{2}}} = 2^{2 + \frac{1}{2} - (-\frac{1}{2})} = 2^{2 + 0,5 + 0,5} = 2^3 = 8\)
б) \((25^{-\frac{1}{4}} \cdot 5^{-\frac{1}{2}})^{-1} = ((5^2)^{-\frac{1}{4}} \cdot 5^{-\frac{1}{2}})^{-1} = (5^{-\frac{1}{2}} \cdot 5^{-\frac{1}{2}})^{-1} = (5^{-1})^{-1} = 5^1 = 5\)
Задание 3. Упростите выражение:
\((a^{\frac{1}{3}} + b)(a^{\frac{1}{3}} - b) - \sqrt[3]{a^2}\)
Применим формулу разности квадратов \((x-y)(x+y) = x^2 - y^2\):
\((a^{\frac{1}{3}})^2 - b^2 - a^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}} - b^2 - a^{\frac{2}{3}} = -b^2\)
Задание 4. Упростите выражение:
\[ \frac{x-1}{x^{\frac{3}{4}} - x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}} - 1} \cdot x^{\frac{1}{4}} - 1 \]
Разложим числители и знаменатели на множители:
1) \(x - 1 = (x^{\frac{1}{2}} - 1)(x^{\frac{1}{2}} + 1)\)
2) \(x^{\frac{3}{4}} - x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{4}} - 1)\)
3) \(x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{1}{4}} - 1)\)
Подставим в выражение:
\[ \frac{(x^{\frac{1}{2}} - 1)(x^{\frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{4}} - 1)} \cdot \frac{x^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{1}{4}} - 1)}{x^{\frac{1}{2}} - 1} \cdot x^{\frac{1}{4}} - 1 \]
Сократим дробь на \((x^{\frac{1}{2}} - 1)\) и \((x^{\frac{1}{4}} - 1)\):
\[ \frac{x^{\frac{1}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{4}} - 1 \]
Так как \(x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{1}{2}}\), получаем:
\[ \frac{x^{\frac{1}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 = x^{\frac{1}{2}} + 1 - 1 = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} \]